Le circuit bouchon

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance

Énoncé

Un circuit bouchon est formé d'une bobine d'inductance $L = 1, 0 H$ et de résistance $r = 20 Ω$ , montée en parallèle avec un condensateur de capacité $C$ : les deux branches (la bobine d'un côté, le condensateur de l'autre) relient les deux mêmes nœuds A et B.

1) On néglige d'abord $r$ . Établir l'impédance $Z_{b}$ du circuit LC parallèle idéal. Pour quelle pulsation $ω_{0}$ est-elle infinie ? Quelle capacité choisir pour $f_{0} = 50 Hz$ ? Le dipôle est-il inductif ou capacitif en dessous de $ω_{0}$ ? au-dessus ? Donner, sans calcul, son comportement en continu et en très haute fréquence.

2) On tient compte de $r$ , avec $C = 10, 1 μ F$ . Calculer le facteur de qualité $Q = L ω_{0} / r$ de la bobine. Montrer que, pour $Q ≫ 1$ , l'impédance en $ω_{0}$ vaut approximativement $L / (r C) = Q^{2} r$ . Calculer cette valeur.

3) À la pulsation $ω_{0}$ , le bouchon étant soumis à une tension d'amplitude $U$ , comparer l'amplitude du courant dans le condensateur à celle du courant total qui traverse le bouchon.

4) On place le bouchon en série entre un générateur idéal de tension et une charge résistive $R_{u} = 100 Ω$ , pour éliminer un ronflement à $50 Hz$ . Calculer la fraction de l'amplitude transmise à la charge en continu, à $50 Hz$ , à $100 Hz$ et à $1 kHz$ . Commenter la largeur de la coupure.

Corrigé

La stratégie. Deux branches en parallèle : on additionne les admittances. On commence par le cas idéal, où tout se lit, puis on mesure l'effet de la résistance de la bobine, qui borne l'impédance maximale.

1) Le bouchon idéal. $Y_{b} = \frac{1}{j L ω} + j C ω = \frac{1 - L C ω ^{2}}{j L ω}$ , donc

$Z_{b} = \frac{j L ω}{1 - L C ω ^{2}} .$

Le dénominateur s'annule pour $ω_{0} = 1/ L C$ : l'impédance est infinie, alors que celle du RLC série y est minimale. Pour $f_{0} = 50 Hz$ , $C = 1/ (ω_{0}^{2} L) = 1/ ((100 π)^{2} \times 1, 0) = 10, 1 μ F$ .

En dessous de $ω_{0}$ , $1 - L C ω^{2} > 0$ et $Z_{b}$ est un imaginaire pur positif : le bouchon est inductif (c'est la bobine, d'impédance plus faible, qui impose sa loi). Au-dessus, il est capacitif. Sans calcul : en continu la bobine est un fil, qui court-circuite le condensateur, donc $Z_{b} \to 0$ ; en très haute fréquence c'est le condensateur qui est un fil, donc $Z_{b} \to 0$ encore. Le bouchon ne présente une grande impédance qu'au voisinage de $ω_{0}$ .

2) L'effet de la résistance de la bobine. Avec $C = 10, 1 μ F$ , $f_{0} = 50, 1 Hz$ et $Q = L ω_{0} / r = 315/20 = 15, 7$ . Notons $X = L ω_{0} = 1/ (C ω_{0})$ . En $ω_{0}$ ,

$Y_{b} = \frac{1}{r + j X} + \frac{j}{X} = \frac{r - j X}{r ^{2} + X ^{2}} + \frac{j}{X} = \frac{r}{r ^{2} + X ^{2}} + j \frac{r ^{2}}{X ( r ^{2} + X ^{2} )} .$

Pour $Q = X / r ≫ 1$ , $r^{2} + X^{2} ≃ X^{2}$ , la partie imaginaire est $Q$ fois plus petite que la partie réelle, et $Y_{b} ≃ r / X^{2}$ . Donc

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