Le condensateur réel : capacitif, puis résistif, puis inductif

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance

Énoncé

Sur une carte électronique, on place un condensateur céramique de découplage, $C = 100 nF$ , entre la piste d'alimentation continue ( $5 V$ ) et la masse, au plus près d'un circuit intégré dont les commutations injectent sur l'alimentation des parasites de haute fréquence.

1) Avec le modèle idéal, que vaut l'impédance du condensateur en continu ? en haute fréquence ? Expliquer comment il évacue les parasites vers la masse sans court-circuiter l'alimentation.

2) Un modèle plus réaliste place en série avec $C$ l'inductance de ses connexions, $ℓ = 2, 0 nH$ , et une résistance $r_{s} = 30 mΩ$ . Écrire l'impédance $Z (ω)$ . Montrer que le composant est capacitif en dessous d'une fréquence $f_{r}$ et inductif au-dessus. Calculer $f_{r}$ et $∣ Z (f_{r}) ∣$ .

3) Calculer le module et l'argument de $Z$ à $1 MHz$ et à $100 MHz$ . Commenter.

4) Pourquoi associe-t-on souvent en parallèle des condensateurs de $10 μ F$ , $100 nF$ et $1 nF$ , chacun avec la même inductance de connexion de $2 nH$ ? Calculer la fréquence $f_{r}$ de chacun.

5) Un centimètre de piste ajoute environ $10 nH$ . Que devient $f_{r}$ si le condensateur est placé à un centimètre de la puce ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Un composant réel est un modèle, et la nature d'un dipôle (capacitif ou inductif) se lit sur le signe de la partie imaginaire de son impédance. On écrit l'impédance, on cherche où cette partie imaginaire change de signe, et l'on chiffre.

1) Le modèle idéal. $∣ Z_{C} ∣ = 1/ (C ω)$ tend vers l'infini en continu : le condensateur est un interrupteur ouvert, l'alimentation continue n'est pas court-circuitée. En haute fréquence, $∣ Z_{C} ∣$ tend vers zéro : le condensateur est un fil pour les parasites, qui s'écoulent vers la masse au lieu d'atteindre la puce. Le composant trie les fréquences : c'est déjà un filtre.

2) Le modèle réel. Les trois éléments sont en série, leurs impédances s'additionnent :

$Z = r_{s} + j (ℓ ω - \frac{1}{C ω}) .$

On reconnaît exactement l'impédance d'un RLC série. Sa partie imaginaire est négative tant que $ℓ ω < 1/ (C ω)$ : le composant est capacitif. Elle s'annule pour $ω_{r} = 1/ ℓ C$ , puis devient positive : au-delà, le « condensateur » est inductif. Numériquement,

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