Problème : résonance du RLC série, bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q$ et surtension

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · C. Résonance du circuit RLC série

Énoncé

Un circuit RLC série est alimenté par une source idéale de tension $e (t) = E cos (ω t)$ : dans la maille, la source, la résistance $R$ , la bobine idéale $L$ et le condensateur $C$ , parcourus par le même courant $i$ orienté dans le sens de la force électromotrice ; $u_{C}$ est la tension aux bornes du condensateur, en convention récepteur. On note $ω_{0} = 1/ L C$ , $Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ et $x = ω / ω_{0}$ la pulsation réduite.

1) Montrer que l'amplitude complexe du courant s'écrit $I = \frac{E / R}{1 + j Q ( x - \frac{1}{x} )}$ . En déduire que l'amplitude du courant est maximale en $x = 1$ quel que soit $Q$ , et que $i$ y est en phase avec $e$ . Préciser le caractère capacitif ou inductif du circuit de part et d'autre.

2) Les pulsations de coupure $ω_{1} < ω_{2}$ sont celles où l'amplitude du courant vaut $I_{m a x} / 2$ . Montrer qu'elles vérifient $Q (x - \frac{1}{x}) = \pm 1$ , les calculer, et établir exactement $Δ ω = ω_{2} - ω_{1} = ω_{0} / Q$ et $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ . Que vaut le déphasage de $i$ par rapport à $e$ en $ω_{1}$ et en $ω_{2}$ ?

3) Établir l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur : $\frac{U _{C}}{E} = \frac{1}{( 1 - x ^{2} ) ^{2} + ( x / Q ) ^{2}}$ .

4) Montrer que $U_{C}$ présente un maximum pour une pulsation non nulle si et seulement si $Q > 1/ 2$ , que ce maximum a lieu en $x_{r} = 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}} < 1$ , et qu'il vaut $\frac{Q}{1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}}$ .

5) Application : $E = 10 V$ , $Q = 20$ . Calculer $U_{C}$ en $ω_{0}$ et au maximum ; comparer $ω_{r}$ et $ω_{0}$ . Pourquoi parle-t-on de surtension ? Comment la source, qui ne « voit » que $R$ à la résonance, peut-elle produire $200 V$ aux bornes du condensateur ?

6) Que valent $U_{C} / E$ en continu et en très haute fréquence ? Répondre sans calcul, puis vérifier. Le courant $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ joue le rôle d'une vitesse et $u_{C}$ celui d'une élongation : traduire les deux résonances pour l'oscillateur mécanique amorti en régime forcé. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Tout passe par l'impédance du circuit, mise sous forme réduite : on fait apparaître $x$ et $Q$ , seuls paramètres qui comptent. La résonance d'intensité se lit sur un dénominateur ; celle de tension demande l'étude d'un trinôme.

1) Le courant. Les trois dipôles sont en série : $Z = R + j (L ω - \frac{1}{C ω})$ et $I = E / Z$ . On factorise $R$ : $Z = R [1 + j (\frac{L ω}{R} - \frac{1}{R C ω})] .$ Or $\frac{L ω}{R} = \frac{L ω _{0}}{R} x = Q x$ , et $\frac{1}{R C ω} = \frac{1}{R C ω _{0}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{Q}{x}$ , car $\frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R C ω _{0}} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = Q$ . D'où $I = \frac{E / R}{1 + j Q ( x - \frac{1}{x} )}, I = \frac{E / R}{1 + Q ^{2} ( x - \frac{1}{x} ) ^{2}} .$ Le dénominateur est minimal, égal à $1$ , si et seulement si $x - \frac{1}{x} = 0$ , c'est-à-dire $x = 1$ (pour $x > 0$ ). L'amplitude maximale $I_{m a x} = E / R$ est atteinte en $ω = ω_{0}$ , quel que soit $Q$ : la position de la résonance d'intensité ne dépend pas de la résistance. En $x = 1$ , $I = E / R$ est réel : $i$ est en phase avec $e$ , et le circuit se comporte comme la seule résistance.

Le déphasage de $i$ sur $e$ vaut $- arctan (Q (x - \frac{1}{x}))$ . Pour $x < 1$ , $x - \frac{1}{x} < 0$ : le courant est en avance, le circuit est capacitif (le condensateur, d'impédance plus grande, impose sa loi). Pour $x > 1$ , il est en retard, le circuit est inductif.

2) La bande passante, exactement. $I = I_{m a x} / 2$ équivaut à $1 + Q^{2} (x - \frac{1}{x})^{2} = 2$ , soit $Q (x - \frac{1}{x}) = \pm 1$ . Notons $ϵ = \pm 1$ ; en multipliant par $x > 0$ , on obtient le trinôme $Q x^{2} - ϵ x - Q = 0$ , dont le discriminant $1 + 4 Q^{2}$ est positif. Ses racines ont pour produit $- 1$ : une seule est positive, $x_{ϵ} = \frac{ϵ}{2 Q} + 1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} .$ Ainsi $x_{1} = - \frac{1}{2 Q} + 1 + \frac{1}{4 Q ^{2}}$ et $x_{2} = \frac{1}{2 Q} + 1 + \frac{1}{4 Q ^{2}}$ . Par différence et par produit — une identité remarquable, $(b - a) (b + a) = b^{2} - a^{2}$ —, $x_{2} - x_{1} = \frac{1}{Q}, x_{1} x_{2} = (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}}) - \frac{1}{4 Q ^{2}} = 1.$ En multipliant par $ω_{0}$ : $Δ ω = ω_{2} - ω_{1} = \frac{ω _{0}}{Q}$ sans aucune approximation, et $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ . La pulsation propre est la moyenne géométrique des coupures — c'est ce qu'on a vérifié sur le relevé de l'exercice 5. Exemple : pour $Q = 3, 16$ , $x_{1} = 0, 854$ et $x_{2} = 1, 171$ .

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Problème : résonance du RLC série, bande passante Δω=ω0​/Q et surtension

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Problème : résonance du RLC série, bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q$ et surtension