Sélectivité contre lenteur : le quartz de montre

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 5 — Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance

Énoncé

Une montre à quartz utilise un petit diapason de quartz qui résonne à $f_{0} = 32768 Hz$ . Autour de cette fréquence, il se comporte électriquement comme un circuit RLC série (la « branche motionnelle ») de capacité $C_{1} = 3, 0 fF$ et de résistance $R_{1} = 30 kΩ$ .

1) Pourquoi $32768 = 2^{15}$ est-il un choix commode pour une montre ? Calculer l'inductance équivalente $L_{1}$ . Commenter sa valeur.

2) Calculer le facteur de qualité $Q$ et la bande passante $Δ f$ . Comparer à un circuit LC de laboratoire ( $Q \approx 100$ ) accordé sur la même fréquence.

3) En régime libre, l'amplitude des oscillations d'un RLC série faiblement amorti décroît comme $e^{- t / τ}$ . Rappeler $τ$ en fonction de $L$ et $R$ , puis de $Q$ et $ω_{0}$ . Le calculer pour le quartz et pour le circuit LC. Combien de temps faut-il pour que le régime forcé s'établisse ?

4) Montrer que $Δ ω \cdot τ = 2$ pour tout RLC série. Énoncer ce résultat en une phrase.

5) Un quartz de montre courant est garanti à $\pm 20$ parties par million. Quelle dérive maximale en un mois ? Pourquoi une grande sélectivité est-elle ici une qualité, alors qu'elle est un défaut pour un récepteur radio, qui doit laisser passer toute la bande occupée par une station ?

Corrigé

La stratégie. Le chapitre précédent a lié le facteur de qualité à la durée du régime libre ; ce chapitre le lie à la largeur de la résonance. On fait se rencontrer les deux, sur un objet où les ordres de grandeur sont extrêmes.

1) Le choix de $2^{15}$ et l'inductance. Un compteur binaire divise une fréquence par deux à chaque étage : quinze étages font passer de $32768 Hz$ à exactement $1 Hz$ , le battement de la trotteuse. Puis $L_{1} = \frac{1}{ω _{0}^{2} C _{1}} = \frac{1}{( 2 π \times 32 768 ) ^{2} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 15}} = 7, 9 \times 1 0^{3} H$ . Près de huit mille henrys : aucune bobine de cette taille ne tiendrait dans une montre, ni même sur une paillasse. C'est une inductance équivalente : elle traduit l'inertie mécanique du diapason vibrant, couplée au circuit par la piézoélectricité. Le modèle électrique est une analogie, la même que celle qui associe l'inductance à la masse dans l'étude des oscillateurs.

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