Deux RC à la suite ne font pas le carré d'un RC

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire

Énoncé

Une cellule passe-bas est formée d'une résistance $R$ en série et d'un condensateur $C$ , la sortie étant prise aux bornes de $C$ ; on note $x = R C ω$ . On place deux cellules identiques à la suite : l'entrée $u_{e}$ est appliquée à la première ; la sortie de la première (point $A$ , potentiel $v_{A}$ par rapport à la masse) alimente la seconde ; la sortie $u_{s}$ , à vide, est prise aux bornes du second condensateur.

1) Rappeler la fonction de transfert $H_{0}$ d'une cellule seule, à vide. Que donnerait le raisonnement « les fonctions de transfert se multiplient » ?

2) Établir la véritable fonction de transfert de l'ensemble, en écrivant la loi des nœuds au point $A$ en termes de potentiels. Montrer que $\frac{1}{H} = 1 - x^{2} + 3 j x$ .

3) Comparer $H$ et $H_{0}^{2}$ : en basse et en haute fréquence, puis en $x = 1$ ; calculer les pulsations réduites de coupure à $- 3 dB$ dans les deux cas. Interpréter physiquement l'écart.

4) On remplace la seconde cellule par une cellule de même constante de temps mais d'impédance $k$ fois plus grande : résistance $k R$ , capacité $C / k$ . Montrer que $\frac{1}{H} = 1 - x^{2} + j x (2 + \frac{1}{k})$ . Calculer $∣ H (x = 1) ∣$ et la coupure pour $k = 10$ et $k = 100$ . Que se passe-t-il quand $k \to \infty$ ?

5) On intercale entre les deux cellules identiques un étage tampon : un bloc idéal, de gain $1$ , d'impédance d'entrée infinie et d'impédance de sortie nulle (on n'étudie pas sa structure). Que vaut alors $H$ ? Énoncer la règle générale de mise en cascade.

Corrigé

1) Le raisonnement naïf. Une cellule seule, à vide, est un diviseur de tension : $H_{0} = \frac{1/ ( j C ω )}{R + 1/ ( j C ω )} = \frac{1}{1 + j x}$ . Si les fonctions de transfert se multipliaient, on aurait $H_{0}^{2} = \frac{1}{( 1 + j x ) ^{2}} = \frac{1}{1 - x ^{2} + 2 j x}$ .

2) Le vrai calcul. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la seconde cellule est à vide, donc elle forme à elle seule un diviseur de tension alimenté par $v_{A}$ : $u_{s} = \frac{v _{A}}{1 + j x}$ , c'est-à-dire $v_{A} = (1 + j x) u_{s}$ . Mais la première cellule n'est pas à vide : un courant part de $A$ vers la seconde cellule.

La loi des nœuds en $A$ . Le courant qui arrive par la première résistance, $\frac{u _{e} - v _{A}}{R}$ , se partage entre le premier condensateur, $j C ω v_{A}$ , et la seconde résistance, $\frac{v _{A} - u _{s}}{R}$ :

$\frac{u _{e} - v _{A}}{R} = j C ω v_{A} + \frac{v _{A} - u _{s}}{R} .$

En multipliant par $R$ : $u_{e} = v_{A} (2 + j x) - u_{s}$ . On remplace $v_{A}$ :

$u_{e} = [(1 + j x) (2 + j x) - 1] u_{s} = (1 - x^{2} + 3 j x) u_{s},$

d'où $\frac{1}{H} = 1 - x^{2} + 3 j x$ .

3) La comparaison. Aux extrémités, les deux expressions coïncident : $H \to 1$ en basse fréquence (tous les condensateurs sont ouverts, aucun courant, la sortie vaut l'entrée) ; $∣ H ∣ \sim \frac{1}{x ^{2}}$ en haute fréquence ( $- 40 dB$ par décade dans les deux cas). C'est au milieu qu'elles diffèrent. En $x = 1$ : $∣ H ∣ = \frac{1}{∣3 j ∣} = \frac{1}{3}$ , alors que $∣ H_{0}^{2} ∣ = \frac{1}{2}$ .

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