Du diagramme de Bode à la sortie : une somme de trois sinusoïdes

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire

Énoncé

On relève expérimentalement le gain et la phase d'un filtre inconnu :

$f$	$10 Hz$	$100 Hz$	$1 kHz$	$10 kHz$	$100 kHz$
$G_{dB}$	$0, 00$	$- 0, 04$	$- 3, 0$	$- 20, 0$	$- 40, 0$
$φ$	$- 0, 6^{\circ}$	$- 5, 7^{\circ}$	$- 4 5^{\circ}$	$- 84, 3^{\circ}$	$- 89, 4^{\circ}$

1) Identifier la nature et l'ordre du filtre, sa fréquence de coupure, et proposer une forme de $H$ . Le réaliser avec un condensateur de $100 nF$ : quelle résistance, et comment les brancher ?

2) Tracer l'allure du diagramme de Bode asymptotique (gain et phase). Où l'écart entre courbe réelle et asymptotes est-il maximal pour le gain, et que vaut-il ?

3) On applique $e (t) = 2, 0 + 3, 0 cos (2 π \cdot 100 t) + 1, 0 cos (2 π \cdot 1 0^{4} t)$ (en volts, $t$ en secondes). Déterminer la sortie $s (t)$ . Sur quelle propriété repose ce calcul ?

4) Le terme à $10 kHz$ est un parasite. Comparer son importance relative en entrée et en sortie. Pourquoi la sortie n'est-elle pas simplement « l'entrée sans parasite » ?

5) On voudrait réduire le parasite à 1 % de l'amplitude de la composante à $100 Hz$ , avec un filtre de même type. Quelle fréquence de coupure faut-il, et quel en est le prix ?

Corrigé

1) Identification. Le gain vaut $1$ ( $0 dB$ ) en basse fréquence et décroît de $20 dB$ par décade au-delà de $1 kHz$ (de $- 20$ à $- 40 dB$ entre $10$ et $100 kHz$ ) : c'est un passe-bas, et la pente de $- 20 dB$ par décade en fait un ordre 1. La fréquence de coupure est celle où $G_{dB} = - 3 dB$ et $φ = - 4 5^{\circ}$ , deux lectures concordantes : $f_{c} = 1, 00 kHz$ . La phase va de $0$ à $- 9 0^{\circ}$ , comme celle de

$H = \frac{1}{1 + j f / f _{c}} .$

Chaque valeur du tableau se retrouve : à $100 Hz$ , $∣ H ∣ = 1/ 1, 01$ , soit $- 0, 04 dB$ , et $φ = - arctan (0, 1) = - 5, 7^{\circ}$ .

Réalisation. Le passe-bas RC du cours : la résistance $R$ en série, puis le condensateur, la sortie prise aux bornes du condensateur. Avec $f_{c} = \frac{1}{2 π R C}$ :

$R = \frac{1}{2 π f _{c} C} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{3} \times 1 0 ^{- 7}} \approx 1, 59 k Ω.$

Homogénéité : $R C$ est un temps ( $Ω \cdot F = s$ ), donc $1/ (2 π R C)$ est bien une fréquence.

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