Fabriquer une sinusoïde à partir d'un créneau (capacité numérique)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · D. Action d'un filtre sur un signal

Énoncé

Un générateur ne délivre qu'un créneau symétrique de fréquence $f_{0} = 1, 00 kHz$ , d'amplitude $1$ , dont la décomposition est fournie : $s (t) = n impair \sum \frac{4}{π n} sin (2 π n f_{0} t)$ . On veut en tirer une sinusoïde à l'aide d'un filtre passe-bande d'ordre 2 de fréquence centrale $f_{r}$ et de facteur de qualité $Q$ : $H = \frac{1}{1 + j Q ( \frac{f}{f _{r}} - \frac{f _{r}}{f} )} .$ On mesure la pureté de la sortie par son taux de distorsion harmonique $THD = \frac{\sum _{n \neq = n_{0}} A _{n}^{2}}{A _{n_{0}}}$ , où $A_{n}$ est l'amplitude de la raie $n$ en sortie et $n_{0}$ la raie que l'on veut garder.

1) Avant tout calcul : pourquoi un filtre linéaire ne peut-il que modifier l'amplitude et la phase des raies du créneau ? Que vaut le THD du créneau lui-même ?

2) Écrire un script Python qui, pour $f_{r}$ et $Q$ donnés, calcule le gain et la phase sur chaque harmonique ( $n \leq 1999$ ), affiche le THD et l'amplitude de la raie gardée, et trace l'entrée et la sortie sur deux périodes.

3) $f_{r} = f_{0}$ : THD pour $Q = 1$ , $3$ , $10$ , $30$ . Quel $Q$ assure un THD de 1 % ? Expliquer la loi observée.

4) $f_{r} = 3 f_{0}$ (on veut une sinusoïde à $3 kHz$ ) : mêmes calculs. Pourquoi faut-il un $Q$ dix fois plus grand ? Quelle raie domine le résidu ?

5) Quelle est l'amplitude de la sinusoïde obtenue dans chaque cas, et sa phase ? Comparer, pour $f_{r} = f_{0}$ , avec un passe-bas d'ordre 1 de coupure $f_{0}$ (une ligne du script à changer). Conclure sur le choix du modèle de filtre.

Corrigé

1) Ce que la linéarité permet et interdit. Le créneau est une somme de sinusoïdes ; un filtre linéaire transforme chacune en une sinusoïde de même fréquence, multipliée par $∣ H ∣$ et déphasée de $ar g H$ , et la sortie est la somme de ces sorties. Il ne crée donc aucune raie, et il ne peut pas en supprimer une exactement (sauf si $H$ s'annule pile à sa fréquence) : il ne fait que changer les proportions.

Le THD du créneau : $\sum_{n \geq 3 impair} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} - 1$ , donc $THD = \frac{π ^{2}}{8} - 1 \approx 48, 3 %$ . C'est le complément des 81 % de l'exercice 1 : $\frac{1}{1 + 0 , 48 3 ^{2}} = 0, 81$ .

2) Le script. Il applique exactement la méthode du cours : spectre fourni, gain et phase raie par raie, somme.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0 = 1000.0                      # frequence du creneau (Hz)
n = np.arange(1, 2000, 2)        # harmoniques impaires, n <= 1999
A = 4 / (np.pi * n)              # spectre FOURNI du creneau

def passe_bande(f, fr, Q):
    return 1 / (1 + 1j * Q * (f / fr - fr / f))

def filtrer(fr, Q, H=passe_bande):
    Hn = H(n * f0, fr, Q)        # gain et phase, raie par raie
    B = A * np.abs(Hn)           # amplitudes de sortie
    k = (n == round(fr / f0))    # la raie que l'on garde
    thd = np.sqrt(np.sum(B[~k]**2)) / B[k][0]
    return thd, B[k][0], np.degrees(np.angle(Hn[k][0])), Hn

def tracer(fr, Q):
    t = np.linspace(0, 2 / f0, 2000)
    Hn = filtrer(fr, Q)[3]
    w = 2 * np.pi * n[:, None] * f0 * t
    e = np.sum(A[:, None] * np.sin(w), axis=0)
    s = np.sum((A * abs(Hn))[:, None]
               * np.sin(w + np.angle(Hn)[:, None]), axis=0)
    plt.plot(t * 1e3, e, t * 1e3, s); plt.xlabel("t (ms)")
    plt.show()

print("THD du creneau :", np.sqrt(np.sum(A[1:]**2)) / A[0])
for fr in (f0, 3 * f0):
    for Q in (1, 3, 10, 30):
        thd, a, phi, _ = filtrer(fr, Q)
        print(f"fr={fr:.0f} Hz Q={Q:>2} : THD={100*thd:6.2f} %"
              f"  amplitude={a:.3f}  phase={phi:+.1f} deg")
    Q = 1.0
    while filtrer(fr, Q)[0] > 0.01:
        Q += 0.1
    print(f"fr={fr:.0f} Hz : THD = 1 % pour Q = {Q:.1f}")
pb = lambda f, fr, Q: 1 / (1 + 1j * f / fr)   # passe-bas, fc = f0
thd, a, phi, _ = filtrer(f0, None, H=pb)
print(f"passe-bas ordre 1 : THD={100*thd:.1f} %"
      f"  amplitude={a:.3f}  phase={phi:+.0f} deg")
tracer(f0, 10)

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