La nature d'un filtre sans calcul

La méthode. En régime sinusoïdal, l'impédance d'un condensateur est $\frac{1}{jC\omega }$ : son module tend vers l'infini quand $\omega \to 0$ (le condensateur est un interrupteur ouvert en basse fréquence) et vers zéro quand $\omega \to \infty$ (c'est un fil en haute fréquence). Celle d'une bobine, $jL\omega$, fait l'inverse : fil en basse fréquence, interrupteur ouvert en haute fréquence. On remplace, on lit le circuit obtenu, et l'on conclut.

1) Les comportements limites.

Très basse fréquence. Le condensateur est ouvert : aucun courant ne circule dans la maille. La tension aux bornes de $R$ est nulle, celle aux bornes de la bobine aussi (un fil sans courant), et toute la tension d'entrée se retrouve aux bornes du condensateur. Donc $u_C\to u_e$, $u_R\to 0$, $u_L\to 0$.

Très haute fréquence. La bobine est ouverte : de nouveau aucun courant. Cette fois toute la tension d'entrée est aux bornes de la bobine : $u_L\to u_e$, $u_R\to 0$, $u_C\to 0$ (le condensateur est un fil).

Conclusion. (a) sortie sur $C$ : passe-bas ; (b) sortie sur $R$ : nulle aux deux extrémités, donc passe-bande ; (c) sortie sur $L$ : passe-haut.

2) Les pentes. On cherche la loi de puissance de $|\underline{H}|$ aux extrémités. En basse fréquence, le courant est imposé par le condensateur, dont l'impédance domine : $|\underline{I}|\simeq C\omega |{\underline{U}}_e|$. Donc $|u_R|\simeq RC\omega |u_e|$, proportionnel à $\omega$ : pente $+20\mathrm{dB}$ par décade ; et $|u_L|\simeq LC{\omega }^2|u_e|=x^2|u_e|$ : pente $+40\mathrm{dB}$ par décade. En haute fréquence, c'est la bobine qui impose le courant : $|\underline{I}|\simeq \frac{|{\underline{U}}_e|}{L\omega }$. Donc $|u_R|\simeq \frac{R}{L\omega }|u_e|$ (pente $-20$) et $|u_C|\simeq \frac{1}{LC{\omega }^2}|u_e|=\frac{1}{x^2}|u_e|$ (pente $-40$).