Le même RC : moyenneur, intégrateur, dérivateur

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · C. Filtres passifs usuels

Énoncé

Une cellule RC est formée d'une résistance $R = 10 k Ω$ en série avec un condensateur $C = 100 nF$ , alimentée par une tension $e (t)$ . On peut prendre la sortie aux bornes du condensateur (passe-bas) ou aux bornes de la résistance (passe-haut).

1) Calculer la constante de temps $τ$ et la fréquence de coupure $f_{c}$ .

2) La sortie est prise aux bornes du condensateur. Établir la fonction de transfert $H = u_{C} / e$ et la mettre sous la forme $H = \frac{1}{1 + j f / f _{c}}$ . Donner ses équivalents en basse et en haute fréquence, et en déduire les asymptotes du gain en décibels et de la phase. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de $1 Hz$ à $100 kHz$ (fréquence en échelle logarithmique), en graduant les axes, et y esquisser la courbe réelle : que valent $G_{dB}$ et $φ$ en $f_{c}$ ? Quel est l'écart entre courbe réelle et asymptotes en $f_{c}$ , puis une décade de part et d'autre ? Lire sur le tracé le gain et la phase à $10 Hz$ et à $10 kHz$ . Comment se transpose le diagramme pour la sortie prise aux bornes de la résistance ?

3) On applique un créneau symétrique $\pm E$ , $E = 5, 0 V$ , de fréquence $10 kHz$ et l'on observe $u_{C}$ en régime établi. Justifier que $u_{C}$ reste petite devant $E$ , et en déduire que $u_{C}$ est, à une constante près, proportionnelle à une primitive de $e$ . Quelle est la forme de $u_{C}$ ? Calculer son amplitude crête à crête. Retrouver ce résultat par le spectre, sur le fondamental.

4) Le créneau varie maintenant entre $0$ et $5, 0 V$ , toujours à $10 kHz$ . Que devient $u_{C}$ ?

5) On revient au créneau $\pm E$ , à la fréquence de $10 Hz$ , et l'on observe $u_{R}$ . Décrire l'allure de $u_{R}$ en justifiant la hauteur des pics. En quel sens le montage est-il dérivateur ?

6) Conclure : à quelles conditions sur la période du signal le même circuit est-il moyenneur, intégrateur ou dérivateur ? Quel est le prix de l'intégration ?

Corrigé

1) $τ = R C = 1 0^{4} \times 1 0^{- 7} = 1, 0 ms$ et $f_{c} = \frac{1}{2 π τ} \approx 159 Hz$ .

2) Le diagramme de Bode asymptotique. La fonction de transfert. La sortie étant à vide, le diviseur de tension en complexes donne $H = \frac{\frac{1}{j C ω}}{R + \frac{1}{j C ω}} = \frac{1}{1 + j R C ω} = \frac{1}{1 + j f / f _{c}}, f_{c} = \frac{1}{2 π τ} \approx 159 Hz .$ Les asymptotes. En basse fréquence ( $f ≪ f_{c}$ ), $H ≃ 1$ : $G_{dB} ≃ 0$ et $φ ≃ 0$ . En haute fréquence ( $f ≫ f_{c}$ ), $H ≃ \frac{f _{c}}{j f}$ : $G_{dB} ≃ - 20 lo g \frac{f}{f _{c}}$ , une droite de pente $- 20 dB$ par décade qui coupe l'axe $0 dB$ exactement en $f_{c}$ , et $φ ≃ - 9 0^{\circ}$ .

Le tracé. Sur cinq décades, de $1 Hz$ à $100 kHz$ : en gain, une demi-droite horizontale à $0 dB$ jusqu'à $159 Hz$ , puis la demi-droite de pente $- 20 dB$ par décade, qui passe par $- 20 dB$ à $1, 59 kHz$ , $- 40 dB$ à $15, 9 kHz$ et environ $- 56 dB$ à $100 kHz$ . En phase, deux demi-droites horizontales, $0$ en dessous de $f_{c}$ et $- 9 0^{\circ}$ au-dessus ; la courbe réelle $φ = - arctan (f / f_{c})$ passe par $- 5, 7^{\circ}$ à $f_{c} /10$ , $- 4 5^{\circ}$ en $f_{c}$ et $- 84, 3^{\circ}$ à $10 f_{c}$ . La courbe réelle du gain, $G_{dB} = - 10 lo g (1 + f^{2} / f_{c}^{2})$ , reste sous les asymptotes : en $f_{c}$ , elle vaut $- 10 lo g 2 \approx - 3, 0 dB$ , l'écart maximal ; une décade de part et d'autre, l'écart n'est plus que de $10 lo g 1, 01 \approx 0, 04 dB$ . L'asymptotique est donc fidèle partout sauf sur la décade qui entoure le coude.

Lectures. À $10 Hz$ , $f / f_{c} \approx 0, 063$ : on est sur l'asymptote horizontale, $G ≃ 1$ ( $0 dB$ ) et $φ \approx - 3, 6^{\circ}$ . À $10 kHz$ , $f / f_{c} \approx 63$ : $G_{dB} \approx - 20 lo g 63 \approx - 36 dB$ , soit $G \approx 0, 016$ , et $φ \approx - 9 0^{\circ}$ (exactement $- 89, 1^{\circ}$ ).

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.