Linéaire ou non ? Lire un spectre de sortie

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · D. Action d'un filtre sur un signal

Énoncé

On applique à trois dispositifs la tension $u (t) = U_{0} [cos (2 π f_{1} t) + cos (2 π f_{2} t)]$ , avec $U_{0} = 1, 0 V$ , $f_{1} = 1, 0 kHz$ et $f_{2} = 1, 2 kHz$ (deux notes voisines). On note $s$ la sortie, en volts.

(a) un filtre linéaire quelconque ;
(b) un amplificateur légèrement dissymétrique : $s = u + 0, 1 u^{2}$ ;
(c) un amplificateur symétrique qui sature doucement : $s = u - 0, 05 u^{3}$ .

1) Quelles fréquences le spectre de sortie de (a) peut-il contenir ?

2) Calculer le spectre de sortie de (b) : fréquences et amplitudes. (On rappelle $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a + b) + cos (a - b)]$ .)

3) Même question pour (c). On pourra établir $cos^{3} a = \frac{3}{4} cos a + \frac{1}{4} cos 3 a$ et $cos^{2} a cos b = \frac{1}{2} cos b + \frac{1}{4} cos (2 a + b) + \frac{1}{4} cos (2 a - b)$ .

4) Quelles fréquences créées par (c) sont les plus gênantes pour l'oreille ? Pourrait-on les éliminer en plaçant un filtre après l'amplificateur ? Que devient l'amplitude des deux notes ?

5) En déduire un protocole expérimental pour tester la linéarité d'un montage.

Corrigé

1) Le filtre linéaire. Par superposition, la sortie est la somme des réponses à chaque cosinus, et chacune est une sinusoïde de même fréquence. Le spectre de sortie ne contient que $1, 0$ et $1, 2 kHz$ , avec des amplitudes et des phases modifiées. Aucune autre fréquence, quel que soit le filtre.

2) Le terme quadratique. Avec $a = 2 π f_{1} t$ et $b = 2 π f_{2} t$ : $u^{2} = cos^{2} a + cos^{2} b + 2 cos a cos b = 1 + \frac{1}{2} cos 2 a + \frac{1}{2} cos 2 b + cos (a + b) + cos (a - b) .$ En multipliant par $0, 1$ et en ajoutant $u$ , le spectre de $s$ est :

$f$ (kHz)	$0$	$0, 2$	$1, 0$	$1, 2$	$2, 0$	$2, 2$	$2, 4$
$A$ (V)	$0, 10$	$0, 10$	$1, 00$	$1, 00$	$0, 05$	$0, 10$	$0, 05$

Sont apparus : une composante continue, les harmoniques 2 de chaque note ( $2 f_{1}$ , $2 f_{2}$ ) et les fréquences de combinaison $f_{1} + f_{2}$ et $f_{2} - f_{1}$ . Une transformée de Fourier numérique de $s$ redonne ces sept raies.

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