Lisser une tension redressée : quel ordre ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · C. Filtres passifs usuels

Énoncé

Une tension redressée $u = U ∣ sin (2 π \cdot 50 t) ∣$ , avec $U = 17, 0 V$ , doit alimenter une charge résistive $R_{u} = 100 Ω$ sous une tension aussi continue que possible. Son spectre est fourni (exercice 1) : une composante continue de $10, 8 V$ , une raie à $100 Hz$ d'amplitude $7, 22 V$ , une raie à $200 Hz$ d'amplitude $1, 44 V$ , puis des raies plus faibles. On modélise la source de $u$ par une source idéale de tension et on intercale un filtre passe-bas entre elle et la charge. (Le lissage réel par un condensateur placé directement derrière les diodes est un fonctionnement non linéaire, hors de ce modèle.)

Cahier des charges : en sortie, l'amplitude de la raie à $100 Hz$ ne doit pas dépasser 1 % de la composante continue.

1) Pour un filtre de gain $1$ en continu, quel gain faut-il à $100 Hz$ ?

2) Avec un passe-bas d'ordre 1, $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{2}$ , quelle fréquence de coupure faut-il ?

3) Avec un passe-bas d'ordre 2 de facteur de qualité $Q = 1/ 2$ , dont le gain est donné : $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{0})^{4}$ , quelle fréquence caractéristique faut-il ? Comparer, dans les deux cas, l'amplitude résiduelle de la raie à $200 Hz$ .

4) On réalise l'ordre 1 par une cellule RC, avec $C = 1, 0 mF$ : calculer $R$ . La charge $R_{u}$ est branchée en parallèle sur $C$ . Que devient la tension continue reçue par la charge ? Le cahier des charges est-il encore respecté ?

5) On réalise l'ordre 2 avec une bobine d'inductance $L$ en série et un condensateur $C$ en parallèle sur la charge. On admet que $H = \frac{1}{1 - L C ω ^{2} + j \frac{L ω}{R _{u}}}$ . Identifier $ω_{0}$ et $Q$ , et en déduire $L$ et $C$ . Quelle tension continue la charge reçoit-elle ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Le filtre est linéaire : il traite chaque raie séparément. Le continu doit passer, la raie à $100 Hz$ doit être réduite ; le cahier des charges devient une condition sur le gain à une fréquence, qu'on traduit en contrainte sur la coupure.

1) Le gain exigé. En continu, $G = 1$ : la sortie continue vaut $10, 8 V$ . Il faut que la raie à $100 Hz$ ressorte avec une amplitude inférieure à $0, 108 V$ , donc $G (100 Hz) \leq \frac{0 , 01 \times 10 , 8}{7 , 22} = 0, 0150,$ soit $- 36, 5 dB$ .

2) L'ordre 1. Il faut $\frac{1}{1 + ( 100/ f _{c} ) ^{2}} \leq 0, 0150$ , soit $\frac{100}{f _{c}} \geq 1/0, 01 5^{2} - 1 \approx 66, 7$ : $f_{c} \leq 1, 50 Hz .$ On est à presque deux décades sous la fréquence à éliminer : à $- 20 dB$ par décade, il faut descendre de $36, 5 dB$ , soit $1, 8$ décade.

3) L'ordre 2. Il faut $\frac{1}{1 + ( 100/ f _{0} ) ^{4}} \leq 0, 0150$ , soit $(\frac{100}{f _{0}})^{2} \geq 66, 7$ : $f_{0} \leq 12, 2 Hz .$ À $- 40 dB$ par décade, $0, 9$ décade suffit. Le choix $Q = 1/ 2$ donne le gain le plus plat, sans bosse de résonance.

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