Où est la puissance dans le spectre ?

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · A. Signaux périodiques

Énoncé

On rappelle que, pour un signal périodique $s$ de valeur moyenne $a_{0}$ dont les harmoniques ont pour valeurs efficaces $S_{eff, k}$ , on a $S_{eff}^{2} = a_{0}^{2} + \sum_{k \geq 1} S_{eff, k}^{2}$ (la composante continue compte comme une raie de fréquence nulle).

1) Le secteur est annoncé à $230 V$ . Quelle est l'amplitude de la tension ? Pourquoi la puissance moyenne dissipée dans une résistance $R$ s'écrit-elle $P = U_{eff}^{2} / R$ ? Une tension continue de $230 V$ chaufferait-elle autant cette résistance ?

2) Un créneau symétrique vaut $+ A$ pendant une demi-période et $- A$ pendant l'autre. Calculer directement sa valeur moyenne et sa valeur efficace. Sa décomposition est fournie : $s (t) = n impair \sum \frac{4 A}{π n} sin (nω t)$ . Retrouver la valeur efficace à partir du spectre, en admettant que $\sum_{n impair} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8}$ . Quelle fraction de $⟨ s^{2} ⟩$ le fondamental porte-t-il à lui seul ? Combien de raies faut-il pour atteindre 99 % ?

3) La tension secteur, redressée « double alternance », devient $u (t) = U ∣ sin (ω t) ∣$ , avec $ω = 2 π \times 50 rad s^{- 1}$ . Sa décomposition est fournie : $u (t) = \frac{2 U}{π} - \frac{4 U}{π} k \geq 1 \sum \frac{cos ( 2 k ω t )}{4 k ^{2} - 1} .$ Calculer par intégration sa valeur moyenne et sa valeur efficace. En déduire la valeur efficace de l'ondulation $u - ⟨ u ⟩$ , et la part de cette ondulation portée par la seule raie de plus basse fréquence. Quelle est cette fréquence ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la valeur efficace comme racine de la moyenne du carré, et la formule de « Parseval » du cours, qui dit que les puissances des raies s'additionnent. La stratégie de tout l'exercice est de calculer chaque grandeur de deux façons — dans le temps, puis dans le spectre — et de lire ce que la comparaison apprend.

1) Le secteur. Pour une sinusoïde d'amplitude $U_{m}$ , $⟨ u^{2} ⟩ = U_{m}^{2} ⟨ cos^{2} ⟩ = U_{m}^{2} /2$ , donc $U_{eff} = U_{m} / 2$ et $U_{m} = 2302 \approx 325 V .$ La puissance instantanée reçue par la résistance est $p (t) = u^{2} (t) / R$ ; sa moyenne est $⟨ u^{2} ⟩ / R = U_{eff}^{2} / R$ . C'est précisément pour cela que la valeur efficace est définie ainsi : elle est la tension continue qui produirait le même effet Joule. Une tension continue de $230 V$ chauffe donc exactement autant que le secteur — mais pas une tension continue de $325 V$ , qui chaufferait deux fois plus. Ordre de grandeur : une bouilloire de $2 kW$ a une résistance $R = U_{eff}^{2} / P \approx 26 Ω$ .

2) Le créneau, dans le temps. Le signal passe autant de temps à $+ A$ qu'à $- A$ : $⟨ s ⟩ = 0$ . Son carré vaut $A^{2}$ à chaque instant : $⟨ s^{2} ⟩ = A^{2}$ et $S_{eff} = A$ . Il passe tout son temps au maximum, contrairement à une sinusoïde.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.