Problème : le filtre de Wien

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · B. Fonction de transfert et diagramme de Bode

Énoncé

Un dipôle formé d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$ en série est suivi d'un dipôle formé d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$ en parallèle. La tension d'entrée $u_{e}$ est appliquée à l'ensemble des deux dipôles mis bout à bout ; la tension de sortie $u_{s}$ est prise aux bornes du dipôle parallèle, sans charge. On prend $R = 10, 0 k Ω$ , $C = 10, 0 nF$ , et l'on note $x = R C ω$ .

1) Sans calcul, déterminer la sortie en très basse et en très haute fréquence. Quel type de filtre attend-on ?

2) Établir $H = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )}$ . L'identifier à la forme canonique $\frac{H _{0}}{1 + j Q ( \frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} )}$ : donner $H_{0}$ , $ω_{0}$ , $f_{0}$ et $Q$ .

3) Calculer le gain maximal en décibels, les pulsations de coupure à $- 3 dB$ et la bande passante. Vérifier que $ω_{0}$ est la moyenne géométrique des coupures.

4) Donner les équations des asymptotes du gain en décibels en basse et en haute fréquence. En quel point se coupent-elles ? Tracer l'allure du diagramme de Bode (gain et phase). Pourquoi, pour un filtre peu sélectif, le diagramme asymptotique donne-t-il une image trompeuse du maximum ?

5) Montrer que $u_{s}$ et $u_{e}$ ne sont en phase qu'à la pulsation $ω_{0}$ . Quelle figure observe-t-on alors à l'oscilloscope en mode XY ? En déduire un protocole pour mesurer une fréquence inconnue, ou une capacité inconnue.

6) La sortie est en réalité observée par un appareil d'impédance d'entrée résistive $R_{u}$ . Pour $R_{u} = 1 M Ω$ , puis $R_{u} = 10 k Ω$ , que deviennent le gain en $ω_{0}$ et la pulsation de phase nulle ? Montrer, dans le second cas, que celle-ci vaut $2 ω_{0}$ . Quelle condition doit remplir l'appareil de mesure ?

Corrigé

1) La nature, sans calcul. Très basse fréquence : les condensateurs sont ouverts. Le condensateur du dipôle série interrompt le circuit : aucun courant, et le dipôle parallèle se réduit à $R$ sans courant : $u_{s} \to 0$ . Très haute fréquence : les condensateurs sont des fils. Celui du dipôle parallèle court-circuite la sortie : $u_{s} \to 0$ . La sortie s'annule aux deux extrémités : on attend un passe-bande.

2) La fonction de transfert. On note $Z_{s} = R + \frac{1}{j C ω}$ l'impédance du dipôle série et $Y_{p} = \frac{1}{R} + j C ω$ l'admittance du dipôle parallèle. Le diviseur de tension donne $H = \frac{1/ Y _{p}}{Z _{s} + 1/ Y _{p}} = \frac{1}{1 + Z _{s} Y _{p}} .$ Or, avec $x = R C ω$ : $Z_{s} Y_{p} = (R + \frac{1}{j C ω}) (\frac{1}{R} + j C ω) = 1 + j R C ω + \frac{1}{j R C ω} + 1 = 2 + j (x - \frac{1}{x}) .$ D'où $H = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )} = \frac{1/3}{1 + \frac{j}{3} ( x - \frac{1}{x} )} .$ Identification : $H_{0} = \frac{1}{3}$ , $\frac{ω}{ω _{0}} = x$ donc $ω_{0} = \frac{1}{R C} = 1, 00 \times 1 0^{4} rad s^{- 1}$ , $f_{0} = \frac{1}{2 π R C} \approx 1, 59 kHz$ , et $Q = \frac{1}{3}$ . On retrouve $H \to 0$ aux deux extrémités.

3) Gain maximal et bande passante. Le module $∣ H ∣ = \frac{1}{9 + ( x - 1/ x ) ^{2}}$ est maximal quand $x - \frac{1}{x} = 0$ , soit $x = 1$ : $G_{max} = \frac{1}{3}$ , et $G_{dB, max} = 20 lo g \frac{1}{3} \approx - 9, 54 dB .$ Les coupures : $∣ H ∣ = \frac{G _{max}}{2}$ équivaut à $9 + (x - \frac{1}{x})^{2} = 18$ , soit $x - \frac{1}{x} = \pm 3$ , c'est-à-dire $x^{2} \mp 3 x - 1 = 0$ . Les racines positives sont $x_{1} = \frac{13 - 3}{2} \approx 0, 303, x_{2} = \frac{13 + 3}{2} \approx 3, 303,$ soit $f_{1} \approx 482 Hz$ et $f_{2} \approx 5, 26 kHz$ . La bande passante : $x_{2} - x_{1} = 3$ , donc $Δ ω = 3 ω_{0} = \frac{ω _{0}}{Q}$ — la relation générale du passe-bande d'ordre 2. La moyenne géométrique : $x_{1} x_{2} = \frac{13 - 9}{4} = 1$ , donc $ω_{1} ω_{2} = ω_{0}^{2}$ . Sur une échelle logarithmique, $ω_{0}$ est au milieu de la bande passante. Celle-ci couvre plus d'une décade : le filtre est très peu sélectif.

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