Sismomètre et accéléromètre : un même filtre mécanique

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 6 — Filtrage linéaire · C. Filtres passifs usuels

Énoncé

Un capteur inertiel est un boîtier rigidement lié au sol (ou au véhicule), dont le déplacement est $X (t)$ . Il contient une masse $m$ reliée au boîtier par un ressort et un amortisseur. On admet que le déplacement relatif $z$ de la masse par rapport au boîtier obéit à $z ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} z ˙ + ω_{0}^{2} z = - X ¨,$ où $ω_{0}$ et $Q$ sont la pulsation propre et le facteur de qualité de l'oscillateur (masse, ressort, amortisseur).

1) Le boîtier oscille : $X = X_{m} cos (ω t)$ . Montrer en notation complexe que $H = \frac{Z}{X} = \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2} + j x / Q}$ , avec $x = ω / ω_{0}$ . Quelle est la nature de ce filtre ? Les pentes de ses asymptotes ?

2) Sismomètre. Montrer que, pour $ω ≫ ω_{0}$ , $z ≃ - X$ et interpréter physiquement. Pour $f_{0} = 1, 0 Hz$ et $Q = 1/ 2$ , calculer $∣ H ∣$ à $0, 2 Hz$ , $1 Hz$ et $5 Hz$ . Quelles vibrations ce capteur enregistre-t-il fidèlement ? Pourquoi certains sismomètres ont-ils une période propre de l'ordre de trente secondes ?

3) Accéléromètre. Montrer que pour $ω ≪ ω_{0}$ , $z ≃ - X ¨ / ω_{0}^{2}$ : le capteur mesure l'accélération. Un accéléromètre de téléphone (une microstructure de silicium) a une fréquence propre de l'ordre de $5 kHz$ . Calculer $z$ pour une accélération de $10 m s^{- 2}$ . Commenter, et en déduire pourquoi le déplacement est détecté par la variation d'une capacité.

4) Pour un mouvement à $100 Hz$ , quelle erreur relative l'approximation de la question 3 commet-elle avec $Q = 1/ 2$ ? Pourquoi choisit-on $Q \approx 1/ 2$ plutôt que $Q = 5$ ? (Calculer la réponse relative $\frac{1}{1 - x ^{2} + j x / Q}$ en $x = 0, 3$ dans les deux cas.)

5) Amortisseur. La suspension d'un véhicule transmet au châssis les ondulations lentes de la route et atténue les secousses rapides. De quel type de filtre s'agit-il pour le déplacement du châssis ? On admet qu'à la résonance l'amplitude du châssis vaut $1 + Q^{2}$ fois celle de la route. Pourquoi un amortisseur usé est-il dangereux ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'équation est donnée (l'établir demanderait un référentiel non galiléen) ; on la lit comme un filtre : entrée $X$ , sortie $z$ .

1) La fonction de transfert. En régime sinusoïdal forcé, dériver par rapport au temps revient à multiplier par $j ω$ : $z ˙ = j ω Z$ , $z ¨ = - ω^{2} Z$ , $X ¨ = - ω^{2} X$ . L'équation devient $(- ω^{2} + j \frac{ω ω _{0}}{Q} + ω_{0}^{2}) Z = ω^{2} X,$ et, en divisant par $ω_{0}^{2}$ : $H = \frac{Z}{X} = \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2} + j \frac{x}{Q}} .$ Nature. En basse fréquence, $H ≃ x^{2} \to 0$ ; en haute fréquence, $H \to - 1$ , de module $1$ . C'est un passe-haut d'ordre 2 pour le déplacement : asymptote de pente $+ 40 dB$ par décade en basse fréquence, asymptote horizontale à $0 dB$ en haute fréquence. Il n'est pas dans la liste des modèles du cours, mais sa fonction est donnée et se lit comme les autres.

2) Le sismomètre. Pour $x ≫ 1$ , $H ≃ \frac{x ^{2}}{- x ^{2}} = - 1$ : $z ≃ - X$ . Le déplacement absolu de la masse, $X + z$ , est alors nul : la masse reste immobile dans le référentiel terrestre, retenue par son inertie, tandis que le boîtier bouge autour d'elle. Le stylet lié à la masse trace alors fidèlement le mouvement du sol : c'est le principe du sismographe.

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