L'intégrateur réel : créneau, triangle et dérive

La stratégie. Lire l'intégrateur dans le temps (une pente proportionnelle à l'entrée) pour le créneau et pour le décalage, puis en fréquence pour comprendre le remède. Un intégrateur parfait a un gain infini en continu ; c'est toute la difficulté.

1) Créneau → triangle. Pendant une demi-période où $e=+E$, la sortie descend avec la pente constante $$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-\frac{E}{RC}=-\frac{1}{10^4\times 10^{-7}}=-1000\mathrm{V}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Pendant $T/2=0,5\mathrm{ms}$, elle varie de $-0,50\mathrm{V}$ ; pendant la demi-période suivante, où $e=-E$, elle remonte d'autant. La sortie est un signal triangulaire de crête à crête $$\Delta s=\frac{E}{RC}\cdot \frac{T}{2}=\frac{E}{2RCf}=0,50\mathrm{V},$$ soit une amplitude $\frac{E}{4RCf}=0,25\mathrm{V}$. Partie de $0$ et commençant par descendre, elle oscille entre $-0,50\mathrm{V}$ et $0$ : sa valeur moyenne vaut $-0,25\mathrm{V}$, fixée par la condition initiale et non par le signal. C'est la constante d'intégration : un intégrateur ne connaît que les variations.

Vérification : l'amplitude est inversement proportionnelle à $f$, comme le module $\frac{1}{RC\omega }$ de la fonction de transfert. Un créneau intégré donne bien un triangle (la primitive d'une fonction constante par morceaux est affine par morceaux).

2) La dérive. Le décalage $V_0$ s'ajoute à l'entrée ; par linéarité, il ajoute à la sortie une rampe de pente $$-\frac{V_0}{RC}=-\frac{10^{-3}}{10^{-3}}=-1,0\mathrm{V}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Ce n'est rien à l'échelle d'une période, mais cela ne s'arrête jamais : la sortie atteint $-14\mathrm{V}$ au bout de $14\mathrm{s}$. Un intégrateur parfait finit toujours par saturer, même sans signal utile : le moindre défaut continu est intégré sans fin.

3) Le remède. La rétroaction est maintenant $R^{\prime }$ en parallèle sur $C$ : ${\underline{Z}}_2=\frac{R^{\prime }}{1+j{R}^{\prime }C\omega }$. Avec la masse virtuelle et le même courant dans $R$ et ${\underline{Z}}_2$, $\underline{H}=-{\underline{Z}}_2/R$ : $$\underline{H}=-\frac{R^{\prime }}{R}\cdot \frac{1}{1+j{R}^{\prime }C\omega }.$$ En continu, $\underline{H}(0)=-\frac{R^{\prime }}{R}=-100$ : le gain est fini. Le décalage de $1\mathrm{mV}$ produit un décalage de sortie constant de $-0,1\mathrm{V}$, sans dérive. De plus, le créneau, de moyenne nulle, donne désormais une sortie de moyenne nulle : le triangle se centre sur zéro.

4) Le domaine d'intégration. C'est un passe-bas actif d'ordre 1, de pulsation de coupure ${\omega }_b=\frac{1}{R^{\prime }C}$, soit $$f_b=\frac{1}{2\pi R^{\prime }C}=\frac{1}{2\pi \times 10^6\times 10^{-7}}\approx 1,6\mathrm{Hz}.$$ Pour $f\gg f_b$, $\underline{H}\approx -\frac{R^{\prime }}{R}\cdot \frac{1}{j{R}^{\prime }C\omega }=-\frac{1}{jRC\omega }$ : c'est l'intégrateur. Le créneau à $1\mathrm{kHz}$, dont toutes les harmoniques sont au-dessus de $1\mathrm{kHz}$, est intégré à $f_b/f\approx 0,2\%$ près. On retrouve la règle du chapitre 6 : un passe-bas se comporte en intégrateur pour les fréquences très supérieures à sa coupure. La différence est que, grâce à l'ALI, le gain de cet intégrateur ne s'effondre pas : le passe-bas RC passif intégrait aussi, mais en divisant le signal.

Ce que l'exercice installe. Un intégrateur se lit dans le temps (pente $=-e/RC$) et en fréquence ($\frac{1}{RC\omega }$). Un gain infini en continu est un défaut, pas une qualité : il intègre les décalages. On le corrige en limitant le gain en continu, au prix d'une coupure basse qu'on place loin sous les fréquences utiles.