électricité (PCSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Mesurer sans perturber : le suiveur

L'ALI idéal et les filtres actifs · B. Quatre montages fondamentaux · niveau 2

Énoncé

Une électrode de pH se modélise par un générateur de Thévenin de force électromotrice $E_{0} = 0, 300 V$ et de résistance interne $R_{s} = 100 M Ω$ : le verre de sa membrane est un très mauvais conducteur.

1) On la branche sur un voltmètre numérique de résistance d'entrée $R_{V} = 10 M Ω$ . Quelle tension affiche-t-il ? Même question avec un oscilloscope de résistance d'entrée $1 M Ω$ .

2) On intercale un suiveur entre l'électrode et le voltmètre. Les courants d'entrée de l'ALI valent $i_{+} = 1 pA$ (ALI à entrée à transistors à effet de champ). Quelle tension le voltmètre affiche-t-il maintenant ? Quelle est l'erreur relative ?

3) Le voltmètre consomme un courant. Qui le fournit, avec et sans suiveur ? Quelle propriété de la sortie de l'ALI le montage utilise-t-il ?

4) Pourquoi ne pas simplement fabriquer un voltmètre de résistance d'entrée $1 0^{12} Ω$ ? Conclure sur le rôle du suiveur.

Corrigé

La stratégie. Un appareil de mesure est un dipôle comme un autre : il charge la source qu'il mesure. On modélise la source par Thévenin (chapitre 2) et l'appareil par sa résistance d'entrée, puis on compare avec un étage d'impédance d'entrée infinie.

1) Le voltmètre seul. La source et le voltmètre forment un diviseur de tension : $U = E_{0} \frac{R _{V}}{R _{s} + R _{V}} = 0, 300 \times \frac{10}{110} \approx 27 mV .$ Le voltmètre affiche $27 mV$ au lieu de $300$ : la quasi-totalité de la force électromotrice est perdue dans la résistance interne. Avec l'oscilloscope, $U = 0, 300 \times \frac{1}{101} \approx 3 mV$ : la mesure est inutilisable.

2) Avec un suiveur. L'entrée non inverseuse ne prélève que $i_{+} = 1 pA$ , d'où une chute de tension dans la résistance interne de $R_{s} i_{+} = 1 0^{8} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4} V = 0, 1 mV .$ $V_{+} = 0, 300 - 0, 0001 = 0, 2999 V$ , et le suiveur recopie : $s = V_{+}$ . Le voltmètre affiche $0, 2999 V$ , soit une erreur relative de $3 \times 1 0^{- 4}$ au lieu de $91 %$ .

3) Qui fournit le courant ? Sans suiveur, le courant du voltmètre, $U / R_{V} \approx 2, 7 nA$ , est fourni par l'électrode, à travers sa résistance de $100 M Ω$ : c'est lui qui crée la chute de tension. Avec le suiveur, le courant $s / R_{V} = 30 nA$ est fourni par la sortie de l'ALI, donc par son alimentation $\pm 15 V$ . L'ALI impose $s = V_{+}$ quel que soit le courant qu'on lui demande, dans ses limites : son impédance de sortie est nulle. L'électrode, elle, ne fournit plus que $1 pA$ .

4) Le rôle du suiveur. Un voltmètre de $1 0^{12} Ω$ existe : c'est exactement un voltmètre ordinaire précédé d'un suiveur, ce qu'on appelle un « pH-mètre ». Le suiveur est un adaptateur d'impédance : il présente à la source une impédance d'entrée quasi infinie, et à la charge une impédance de sortie quasi nulle. On peut ainsi brancher n'importe quel appareil, ou n'importe quel étage suivant, sans perturber la source. C'est la condition de mise en cascade énoncée au chapitre 6.

Ce que l'exercice installe. Toute mesure de tension se juge par le rapport entre l'impédance d'entrée de l'appareil et l'impédance de sortie de la source. Le suiveur résout le problème en séparant les deux rôles : il ne prend presque rien à la source et fournit tout à la charge.

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