Problème : le convertisseur numérique-analogique, du sommateur au réseau R-2R

La stratégie. Tout repose sur la masse virtuelle : un nœud maintenu à $0\mathrm{V}$ où des courants indépendants viennent s'additionner. On établit le sommateur, on en déduit le CNA le plus simple, on mesure son défaut, puis on le corrige par un réseau qui n'utilise que deux valeurs de résistances, analysé par les équivalences de Thévenin et de résistances du chapitre 2.

1) Le sommateur. La sortie revient sur l'entrée inverseuse par $R_f$ : régime linéaire, et $V_{-}=V_{+}=0$. Chaque résistance d'entrée a un bout à $e_k$ et l'autre à $0$ : elle est parcourue par le courant $\frac{e_k}{R_k}$, qui ne dépend que de $e_k$. Loi des nœuds à l'entrée inverseuse, avec $i_{-}=0$ : la somme de ces courants traverse $R_f$, et $0-s=R_f{\sum }_k\frac{e_k}{R_k}$, d'où $$s=-R_f\left(\frac{e_1}{R_1}+\frac{e_2}{R_2}+\frac{e_3}{R_3}\right).$$ Les sources ne se perturbent pas : chacune voit une résistance $R_k$ reliée à un point fixé à $0\mathrm{V}$, comme si les autres n'existaient pas. Sans la masse virtuelle, si les trois résistances aboutissaient à un même nœud flottant, le potentiel de ce nœud dépendrait de toutes les entrées, et chaque source débiterait dans les autres. Application : la table de mixage, qui additionne plusieurs micros avec des gains réglables $R_f/R_k$.

2) Le CNA à résistances pondérées. Avec $e_k=b_k{V}_{\mathrm{ref}}$ et les résistances $R$, $2R$, $4R$, $8R$ : $$s=-R_f{V}_{\mathrm{ref}}\left(\frac{b_3}{R}+\frac{b_2}{2R}+\frac{b_1}{4R}+\frac{b_0}{8R}\right)=-\frac{R_f}{8R}{V}_{\mathrm{ref}}(8b_3+4b_2+2b_1+b_0)=-\frac{R_f}{8R}{V}_{\mathrm{ref}}N.$$ Pleine échelle : $\frac{R_f}{8R}\times 5\times 15=10$ donne $$R_f=\frac{80R}{75}\approx 1,07R\approx 10,7\mathrm{k}\Omega .$$ Le quantum vaut $\frac{R_f}{8R}{V}_{\mathrm{ref}}=\frac{10}{15}\approx 0,67\mathrm{V}$. Vérification : $10\mathrm{V}<V_{\mathrm{sat}}$, la sortie ne sature jamais.

3) Le défaut à 8 bits. Il faut les résistances $R,2R,4R,\dots ,128R$, soit de $10\mathrm{k}\Omega$ à $1,28\mathrm{M}\Omega$ : un rapport de $128$. Le bit de poids fort pèse $128$ quanta sur $255$. Si sa résistance est fausse d'une fraction $\delta$, le courant correspondant l'est de $\delta$ environ, et la sortie de $128\delta$ quanta. Pour une erreur inférieure à un demi-quantum, $$128\delta <\frac{1}{2}\Rightarrow \delta <\frac{1}{256}\approx 0,4\%.$$ Et il faut que ces huit résistances, de valeurs très différentes, gardent ces rapports exacts malgré les variations de température. Avec plus de bits, l'exigence double à chaque bit ajouté : le principe est juste, la réalisation impraticable.

4) Le réseau R-2R. On part du bas de l'échelle. Au nœud $A_0$, deux résistances $2R$ partent vers la masse : celle de la terminaison et celle de la branche $A_0$ (l'interrupteur aboutit à la masse ou à la masse virtuelle, toutes deux à $0\mathrm{V}$). Elles sont en parallèle : $2R\parallel 2R=R$. Vu de $A_1$ vers le bas, on trouve la résistance $R$ entre $A_1$ et $A_0$, en série avec cet équivalent $R$ : $R+R=2R$. Au nœud $A_1$, cet équivalent $2R$ est à son tour en parallèle avec la branche $2R$ de $A_1$, ce qui donne encore $R$, et ainsi de suite. Vue de n'importe quel nœud vers le bas, l'échelle vaut $2R$, et la résistance totale vue par la référence au nœud $A_{n-1}$ est $2R\parallel 2R=R$.

À chaque nœud, le courant qui arrive se partage donc entre deux résistances égales à $2R$ : la branche du nœud et le reste de l'échelle. Il se divise en deux moitiés égales. La référence débite $I_0=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{R}$ ; la branche de $A_{n-1}$ reçoit $\frac{I_0}{2}$, celle de $A_{n-2}$ reçoit $\frac{I_0}{4}$, et ainsi de suite jusqu'à $A_0$, qui reçoit $\frac{I_0}{2^n}$.

5) La masse virtuelle, encore. Chaque branche $2R$ aboutit soit à la masse, soit à l'entrée inverseuse, qui est à $0\mathrm{V}$ elle aussi. Le réseau voit donc exactement les mêmes potentiels quelle que soit la position des interrupteurs : les courants des branches ne changent pas. Seule change leur destination. Les branches dont le bit vaut $1$ envoient leur courant vers l'entrée inverseuse, où il traverse $R_f$ ; les autres l'envoient à la masse. Le courant total vers la masse virtuelle vaut $$I=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{R}\left(\frac{b_{n-1}}{2}+\frac{b_{n-2}}{4}+\cdots +\frac{b_0}{2^n}\right)=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{R}\cdot \frac{N}{2^n},$$ et $s=-R_{f}I$, d'où $$s=-\frac{R_f}{R}{V}_{\mathrm{ref}}\frac{N}{2^n}.$$ Deux valeurs de résistances suffisent, $R$ et $2R$, quel que soit le nombre de bits. On fabrique sur une même puce des résistances identiques bien appariées, dont on fait $2R$ en en mettant deux en série : leurs rapports sont précis et suivent ensemble la température. C'est pourquoi le réseau R-2R équipe la plupart des CNA. Et c'est la masse virtuelle qui le rend possible : sans elle, basculer un interrupteur changerait les potentiels, donc tous les courants.

6) Ordres de grandeur. Avec $n=8$, $V_{\mathrm{ref}}=5,0\mathrm{V}$ et $R_f=R$ :

• quantum : $\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2^8}=\frac{5}{256}\approx 19,5\mathrm{mV}$ ;
• pleine échelle ($N=255$) : $s=-5\times \frac{255}{256}\approx -4,98\mathrm{V}$, sans saturation ;
• courant fourni par la référence : $\frac{V_{\mathrm{ref}}}{R}=\frac{5}{10^4}=0,5\mathrm{mA}$, le même quel que soit $N$ : la référence voit toujours la même charge, ce qui la rend facile à stabiliser.

Le modèle idéal ignore la vitesse : un ALI réel met un temps fini, de l'ordre de la microseconde, à faire varier sa sortie de plusieurs volts, ce qui limite le nombre de conversions par seconde. Il ignore aussi la résistance des interrupteurs, qui s'ajoute à celle des branches $2R$, et le décalage de l'ALI, qui doit rester petit devant un quantum de $20\mathrm{mV}$.

Le résultat. Le convertisseur numérique-analogique à réseau R-2R — une échelle de résistances $R$ et $2R$ dont chaque branche est aiguillée vers la masse ou vers la masse virtuelle d'un amplificateur inverseur — délivre une tension $s=-\frac{R_f}{R}{V}_{\mathrm{ref}}\frac{N}{2^n}$ proportionnelle au nombre binaire $N$ ; il n'utilise que deux valeurs de résistances, et ses courants ne dépendent pas des bits, parce que la masse virtuelle et la masse sont au même potentiel.