électricité (PCSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Un filtre actif passe-bande pour la voix

L'ALI idéal et les filtres actifs · C. Filtres actifs · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le téléphone transmet la voix dans la bande $300 Hz$ – $3, 4 kHz$ . On réalise un filtre actif sur la structure inverseuse : l'entrée inverseuse reçoit le signal à travers une impédance $Z_{1}$ , formée d'une résistance $R_{1}$ en série avec un condensateur $C_{1}$ ; la rétroaction $Z_{2}$ est formée d'une résistance $R_{2}$ en parallèle avec un condensateur $C_{2}$ ; l'entrée non inverseuse est à la masse.

1) Sans calcul, déterminer le comportement du filtre en basse et en haute fréquence. De quel type de filtre s'agit-il ?

2) Établir $H = - Z_{2} / Z_{1}$ sous la forme $H = - \frac{R _{2}}{R _{1}} \cdot \frac{j ω / ω _{1}}{1 + j ω / ω _{1}} \cdot \frac{1}{1 + j ω / ω _{2}},$ en précisant $ω_{1}$ et $ω_{2}$ . Interpréter ce produit.

3) Cahier des charges : gain $10$ dans la bande, coupures à $300 Hz$ et $3, 4 kHz$ , impédance d'entrée d'au moins $10 k Ω$ dans la bande. Choisir $R_{1}$ , $R_{2}$ , puis $C_{1}$ et $C_{2}$ , en arrondissant aux valeurs normalisées de la série E6 ( $10$ , $15$ , $22$ , $33$ , $47$ , $68$ multipliés par une puissance de dix).

4) Avec les valeurs retenues, tracer à main levée le diagramme de Bode asymptotique en gain (pentes, valeur dans la bande). Quel est le gain maximal réel ?

5) Le signal d'entrée contient un ronflement à $50 Hz$ d'amplitude $0, 20 V$ , la voix (on retient une composante à $1, 0 kHz$ d'amplitude $0, 50 V$ ) et un bruit à $20 kHz$ d'amplitude $0, 10 V$ . Calculer l'amplitude de chaque composante en sortie. La sortie risque-t-elle de saturer ?

6) Décrire le protocole de mise en œuvre et de vérification de ce filtre au laboratoire.

Corrigé

La stratégie. La nature du filtre se lit sans calcul, en remplaçant chaque condensateur par un interrupteur ouvert en basse fréquence et par un fil en haute fréquence ; puis $H = - Z_{2} / Z_{1}$ donne la forme exacte, qu'on interprète comme un produit de deux filtres connus. La conception consiste ensuite à placer les coupures.

1) Les comportements limites.

En basse fréquence, $C_{1}$ est un interrupteur ouvert : aucun courant n'entre, la sortie est nulle. Le filtre coupe les basses fréquences.
En haute fréquence, $C_{2}$ est un fil qui relie la sortie à la masse virtuelle : la sortie est nulle. Le filtre coupe aussi les hautes fréquences.
Entre les deux, $C_{1}$ se comporte comme un fil et $C_{2}$ comme un interrupteur ouvert : il reste l'inverseur, de gain $- R_{2} / R_{1}$ .

C'est un passe-bande, qui amplifie sa bande passante.

2) La fonction de transfert. $Z_{1} = R_{1} + \frac{1}{j C _{1} ω} = \frac{1 + j R _{1} C _{1} ω}{j C _{1} ω}, Z_{2} = \frac{R _{2}}{1 + j R _{2} C _{2} ω} .$ Donc $H = - \frac{Z _{2}}{Z _{1}} = - \frac{R _{2}}{1 + j R _{2} C _{2} ω} \cdot \frac{j C _{1} ω}{1 + j R _{1} C _{1} ω} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} \cdot \frac{j R _{1} C _{1} ω}{1 + j R _{1} C _{1} ω} \cdot \frac{1}{1 + j R _{2} C _{2} ω},$ d'où la forme demandée avec $ω_{1} = \frac{1}{R _{1} C _{1}}, ω_{2} = \frac{1}{R _{2} C _{2}} .$ C'est le produit d'un gain $- R_{2} / R_{1}$ , d'un passe-haut d'ordre 1 de coupure $ω_{1}$ et d'un passe-bas d'ordre 1 de coupure $ω_{2}$ . En décibels, les gains s'ajoutent : le diagramme de Bode se construit en superposant ceux des trois facteurs. C'est l'avantage du filtre actif : la structure donne directement le produit, sans que les deux cellules se chargent mutuellement.

3) Le dimensionnement. Dans la bande, l'impédance d'entrée vaut $∣ Z_{1} ∣ \approx R_{1}$ (le condensateur $C_{1}$ y est presque un fil) : on prend $R_{1} = 10 k Ω$ . Gain $10$ : $R_{2} = 100 k Ω$ . Puis $C_{1} = \frac{1}{2 π f _{1} R _{1}} = \frac{1}{2 π \times 300 \times 1 0 ^{4}} \approx 53 nF,$ $C_{2} = \frac{1}{2 π f _{2} R _{2}} = \frac{1}{2 π \times 3400 \times 1 0 ^{5}} \approx 470 pF .$ On retient les valeurs normalisées $C_{1} = 47 nF$ et $C_{2} = 470 pF$ , d'où les coupures effectives $f_{1} \approx 339 Hz$ et $f_{2} \approx 3, 39 kHz$ , à $13 %$ et $0, 4 %$ des valeurs visées. Pour $f_{1}$ , la valeur $68 nF$ donnerait $234 Hz$ : $47 nF$ est plus proche. Un écart de cet ordre est sans conséquence pour de la voix.

4) Le diagramme de Bode asymptotique.

Pour $f ≪ f_{1}$ : $H \approx - j R_{2} C_{1} ω$ , une droite de pente $+ 20 dB$ par décade.
Pour $f_{1} ≪ f ≪ f_{2}$ : $H \approx - R_{2} / R_{1}$ , un palier à $20 lo g 10 = 20 dB$ .
Pour $f ≫ f_{2}$ : $H \approx - \frac{1}{j R _{1} C _{2} ω}$ , une pente de $- 20 dB$ par décade.

Les deux coupures n'étant séparées que d'une décade, la courbe réelle n'atteint pas tout à fait le palier : au centre $f_{0} = f_{1} f_{2} \approx 1, 07 kHz$ , le gain vaut $∣ H (f_{0}) ∣ = \frac{R _{2}}{R _{1}} \cdot \frac{1}{1 + f _{1} / f _{2}} = \frac{10}{1 , 1} \approx 9, 1,$ soit $19, 2 dB$ au lieu de $20$ .

5) L'action sur le signal. Le filtre est linéaire : il traite chaque composante séparément (chapitre 6). Avec $∣ H ∣ = 10 \cdot \frac{f / f _{1}}{1 + ( f / f _{1} ) ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + ( f / f _{2} ) ^{2}}$ :

Composante	Entrée	$∣ H ∣$	Sortie
ronflement $50 Hz$	$0, 20 V$	$1, 46$	$0, 29 V$
voix $1, 0 kHz$	$0, 50 V$	$9, 08$	$4, 5 V$
bruit $20 kHz$	$0, 10 V$	$1, 67$	$0, 17 V$

La voix, qui représentait $0, 5 V$ sur $0, 8 V$ de signal crête, en représente maintenant $4, 5$ sur $5, 0$ : le rapport entre la voix et le ronflement passe de $2, 5$ à $16$ , celui entre la voix et le bruit de $5$ à $27$ . Le filtre ne supprime pas les parasites, il les défavorise, d'un facteur $6$ environ : c'est la limite d'un ordre 1 de chaque côté.

Saturation. Même si les trois maxima coïncidaient, la sortie ne dépasserait pas $0, 29 + 4, 5 + 0, 17 \approx 5, 0 V < 14 V$ : pas de saturation. La voix pourrait atteindre $14/9, 1 \approx 1, 5 V$ d'amplitude en entrée avant écrêtage.

6) La mise en œuvre. On câble le montage sur une plaque d'essai et l'on alimente l'ALI en $\pm 15 V$ , en reliant la masse de l'alimentation à celle du montage. Un générateur basse fréquence délivre une sinusoïde de faible amplitude, par exemple $0, 5 V$ , pour rester loin de la saturation. À l'oscilloscope, on observe l'entrée sur une voie et la sortie sur l'autre, et l'on relève, pour une dizaine de fréquences réparties logarithmiquement entre $30 Hz$ et $30 kHz$ , le rapport des amplitudes et le déphasage. On trace le diagramme de Bode point par point et on le compare à la prédiction : palier proche de $19 dB$ , coupures à $339 Hz$ et $3, 39 kHz$ (où le gain a perdu $3 dB$ environ), déphasage de $18 0^{\circ}$ au centre de la bande (signe moins de l'inverseur). Deux vérifications en cours de mesure : la sortie ne doit jamais être écrêtée (sinon, réduire l'amplitude d'entrée), et la mesure doit rester sous la fréquence au-delà de laquelle l'ALI réel décroche, quelques dizaines à quelques centaines de kilohertz selon le composant.

Ce que l'exercice installe. Concevoir un filtre actif, c'est placer des coupures en choisissant des composants, puis vérifier la non-saturation. La structure $- Z_{2} / Z_{1}$ fabrique directement un produit de filtres simples, et l'action sur un signal se calcule composante par composante, grâce à la linéarité.

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