L'énergie qui s'en va : définition énergétique de $Q$

1) Le bilan instantané. On multiplie la loi des mailles $L\dot{i}+Ri+u_C=0$ par $i=C{\dot{u}}_C$ : $$Li\dot{i}+R{i}^2+C{u}_C{\dot{u}}_C=0⟺\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}C{u}_C^2\right)=-R{i}^2.$$ L'énergie stockée diminue exactement de ce que la résistance dissipe par effet Joule ; elle ne peut que décroître.

2) La moyenne sur une période. Pour $Q\gg 1$, en une pseudo-période l'amplitude change à peine, et l'on peut moyenner. L'énergie moyenne de la bobine est la moitié de l'énergie totale : $⟨\frac{1}{2}L{i}^2⟩\approx \frac{1}{2}\mathcal{E}$, donc $⟨i^2⟩\approx \mathcal{E}/L$. D'où $$\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t}\approx -R\frac{\mathcal{E}}{L}=-\frac{{\omega }_0}{Q}\mathcal{E},\text{car}\frac{R}{L}=\frac{{\omega }_0}{Q}.$$ Cette équation du premier ordre s'intègre en $\mathcal{E}(t)\approx {\mathcal{E}}_0{\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/Q}$. Cohérence : l'énergie est quadratique en amplitude, et ${\left({\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right)}^2={\mathrm{e}}^{-2t/\tau }={\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/Q}$. Le temps de décroissance de l'énergie est $Q/{\omega }_0$, moitié de celui de l'amplitude.

3) La définition énergétique. En une pseudo-période $T\approx 2\pi /{\omega }_0$, l'énergie perdue vaut $|\Delta \mathcal{E}|\approx \frac{{\omega }_0}{Q}\mathcal{E}T=\frac{2\pi }{Q}\mathcal{E}$, d'où $$Q\approx 2\pi \frac{\mathcal{E}}{|\Delta \mathcal{E}|}.$$ Le facteur de qualité est $2\pi$ fois le rapport de l'énergie stockée à l'énergie perdue par période. Elle vaut pour tout oscillateur : circuit, pendule, quartz.

4) Facteurs exacts. Par pseudo-période, l'énergie (prise aux mêmes phases) est divisée par ${\mathrm{e}}^{4\pi /\sqrt{4Q^2-1}}$. Pour $Q=10$ : facteur $1,88$, soit $47\%$ de l'énergie perdue en une période, alors que $2\pi /Q=63\%$. Pour $Q=5$ : facteur $3,5$, soit $72\%$ perdus, contre $2\pi /Q=126\%$, qui n'a plus de sens. La formule $|\Delta \mathcal{E}|/\mathcal{E}\approx 2\pi /Q$ est un développement au premier ordre en $1/Q$ ; elle n'est fiable que si cette fraction est petite, c'est-à-dire pour $Q$ de quelques dizaines au moins. Pour $Q=10$ ou $5$, on emploie l'expression exacte.

5) Le quartz. $32768=2^{15}$ : quinze divisions de fréquence par deux, réalisées par de simples bascules, transforment l'oscillation en une impulsion par seconde. Le temps de décroissance de l'énergie vaut $$\frac{Q}{{\omega }_0}=\frac{10^5}{2\pi \times 32768}\approx 0,49\mathrm{s},$$ et la fraction perdue par cycle $2\pi /Q\approx 6,3\times 10^{-5}$ (ici l'approximation est excellente). Pour entretenir l'oscillation, il faut compenser la perte moyenne $P=\frac{{\omega }_0}{Q}\mathcal{E}\approx \frac{2,06\times 10^5}{10^5}\times 10^{-9}\approx 2\mathrm{nW}$. Une montre consomme au total de l'ordre du microwatt ; l'oscillateur lui-même n'en est qu'une petite fraction. Un très grand $Q$ signifie à la fois une fréquence très stable (l'oscillateur est peu perturbé par l'électronique qui l'entretient, puisqu'elle ne lui apporte que $6\times 10^{-5}$ de son énergie par cycle) et une consommation infime.

Ce que l'exercice installe. Le bilan de puissance s'obtient en multipliant l'équation par la bonne grandeur (ici $i$) ; c'est le théorème de l'énergie du circuit. Le facteur de qualité a une signification énergétique universelle, $Q\approx 2\pi \mathcal{E}/|\Delta \mathcal{E}|$, valable à condition que $Q$ soit grand ; et l'énergie décroît deux fois plus vite que l'amplitude.