La charge résonante : battre les $50\%$

La stratégie. Tant que la diode conduit, le circuit est un LC (ou un RLC) soumis à un échelon, dont la réponse est connue. Le rôle de la diode est d'arrêter l'oscillation au premier maximum, comme un interrupteur qu'on ouvrirait exactement au premier zéro du courant.

1) Sans résistance. La loi des mailles, $E=L\dot{i}+u_C$ avec $i=C{\dot{u}}_C$, donne ${\ddot{u}}_C+{\omega }_0^2{u}_C={\omega }_0^{2}E$, ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$. Avec $u_C(0^{+})=0$ et $i(0^{+})=0$ (continuité), la solution est $u_C=E(1-\cos {\omega }_{0}t)$ et le courant vaut $i=CE{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t$. Le courant est positif (sens passant) jusqu'à $t_b=\pi /{\omega }_0=\pi \sqrt{LC}$, où il s'annule et tenterait de s'inverser : la diode se bloque. Numériquement,

$$t_b=\pi \sqrt{10^{-3}\times 10^{-6}}\approx 99\mu \mathrm{s},u_C(t_b)=2E=600\mathrm{V}.$$

Ensuite, la diode est ouverte et le reste : pour que le courant reparte dans le sens passant, il faudrait que $u_C<E$, et le condensateur isolé garde sa charge. Le condensateur reste chargé sous $2E$.

2) Le bilan. Le générateur a débité la charge $q=C\cdot 2E$ sous la tension constante $E$ : il a fourni $W_g=E\cdot 2CE=2C{E}^2=0,18\mathrm{J}$. Le condensateur stocke $\frac{1}{2}C(2E{)}^2=2C{E}^2=0,18\mathrm{J}$. Le rendement vaut 1 : aucune perte, et de plus la tension finale est le double de celle du générateur. Le courant maximal, en $t=t_b/2$, vaut $CE{\omega }_0=E\sqrt{C/L}=300\times \sqrt{10^{-3}}\approx 9,5\mathrm{A}$ : un composant de puissance, mais rien d'irréaliste. Ce montage, dit de charge résonante, sert à charger des condensateurs de forte énergie, par exemple dans les modulateurs d'impulsions.

3) Avec une résistance. Tant que la diode conduit, $u_C$ est la réponse du RLC série à un échelon, et le courant $i=C{\dot{u}}_C=\frac{CE{\omega }_0^2}{\Omega }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\sin \Omega t$ reste positif jusqu'à $t_m=\pi /\Omega$. La diode se bloque à cet instant, et $u_C$ reste figée à $u_{\max }=E(1+D)$, avec $D=\exp (-\pi /\sqrt{4Q^2-1})$. Le générateur a fourni $W_g=E\cdot C{u}_{\max }=C{E}^2(1+D)$ ; le condensateur stocke $\frac{1}{2}C{u}_{\max }^2=\frac{1}{2}C{E}^2(1+D{)}^2$. D'où

$$\eta =\frac{\frac{1}{2}C{E}^2(1+D{)}^2}{C{E}^2(1+D)}=\frac{1+D}{2}.$$

Numériquement : $Q=10$ donne $D\approx 0,854$, $u_{\max }\approx 1,85E\approx 556\mathrm{V}$ et $\eta \approx 0,93$ ; $Q=1$ donne $D\approx 0,163$ et $\eta \approx 0,58$ ; $Q=0,6$ donne $D\approx 0,009$ et $\eta \approx 0,50$.

4) Le raccord avec le premier ordre. Pour $Q\le \frac{1}{2}$, il n'y a pas de dépassement : $u_C$ croît vers $E$ sans le franchir, le courant reste positif et la diode ne se bloque jamais. L'état final est $u_C=E$, le générateur a fourni $C{E}^2$, le condensateur stocke $\frac{1}{2}C{E}^2$ : $\eta =\frac{1}{2}$. On retrouve le rendement de la charge à travers une résistance, et la formule $\eta =(1+D)/2$ s'y raccorde continûment puisque $D\to 0$ quand $Q\to \frac{1}{2}$. Le résultat du premier ordre est un cas limite : celui où l'inductance est trop faible pour lancer le courant.

5) Où va l'énergie perdue. Elle est dissipée par effet Joule dans $R$, et nulle part ailleurs (la bobine se retrouve vide en $t_m$, puisque $i=0$). Lors de la charge directe à travers $R$, la résistance supporte à l'instant initial toute la tension $E$, et la puissance dissipée $E^2/R$ est énorme au début. Avec la bobine, c'est elle qui « absorbe » la différence $E-u_C$ en stockant de l'énergie magnétique, puis la restitue : la tension aux bornes de $R$ reste de l'ordre de $Ri$, petite si $Q$ est grand. On retrouve l'idée générale : la dissipation dans une résistance est d'autant plus faible qu'on ne lui impose jamais une grande différence de tension.

Ce que l'exercice installe. Un composant non linéaire (la diode, ici un interrupteur commandé par le signe du courant) peut figer un oscillateur au moment choisi ; un bilan d'énergie se fait alors entre l'état initial et cet état figé. Et l'on mesure ce qu'apporte la bobine : là où la résistance seule dissipait la moitié de l'énergie, l'oscillateur la transporte presque intégralement, avec une perte qui tend vers zéro quand $Q$ grandit.