La surtension d'une bobine limitée par une capacité parasite

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La continuité du courant dans une bobine et de la tension aux bornes d'un condensateur (l'énergie stockée ne peut pas varier de façon discontinue sans puissance infinie), la loi des mailles, et la conservation de l'énergie dans un circuit sans résistance. La stratégie est de remarquer que la situation n'a rien de nouveau : c'est un circuit LC, mais lancé par un courant, pas par une charge.

1) Les conditions initiales, par continuité. Avant l'ouverture, la bobine est parcourue par $I_0=E/r=0,30\mathrm{A}$ ; l'intensité dans une bobine est continue, donc $i(0^{+})=I_0=0,30\mathrm{A}$. Avant l'ouverture, en régime permanent continu, la tension aux bornes de la bobine réelle vaut $r{I}_0=E=12\mathrm{V}$ (en convention récepteur, dans le sens de $I_0$), et le condensateur parasite, branché sur les mêmes bornes, porte cette tension. Dans la maille formée après l'ouverture, le courant $i$ sort de la bobine et entre dans le condensateur : avec les deux conventions récepteur, $u_C=-u_{\text{bobine}}$, donc $u_C(0^{-})=-E$, et par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, $u_C(0^{+})=-E=-12\mathrm{V}$. On verra que les tensions qui apparaissent se comptent en kilovolts : on peut donc prendre $u_C(0^{+})\approx 0$, ce qu'on justifiera exactement à la question 6. Le courant n'a pas d'autre chemin que le condensateur : c'est lui qui va recevoir, d'un coup, le courant de $0,30\mathrm{A}$.

2) L'équation et sa solution. Dans la maille, en convention récepteur pour les deux dipôles, la loi des mailles s'écrit $u_L+u_C=0$ avec $u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ et $i=C_p\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$, d'où $$L{C}_p\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_C}{\mathrm{d}{t}^2}+u_C=0,\text{soit}{\ddot{u}}_C+{\omega }_0^2{u}_C=0,{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{L{C}_p}}.$$ C'est l'équation de l'oscillateur harmonique. La solution générale est $u_C(t)=A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t$. La condition $u_C(0^{+})\approx 0$ donne $A=0$ ; la condition sur le courant porte sur la dérivée : ${\dot{u}}_C(0^{+})=i(0^{+})/C_p=I_0/C_p$, et ${\dot{u}}_C(0)=B{\omega }_0$, d'où $B=\frac{I_0}{C_p{\omega }_0}=I_0\sqrt{\frac{L}{C_p}}$. Donc $$u_C(t)=I_0\sqrt{\frac{L}{C_p}}\sin {\omega }_{0}t,i(t)=I_0\cos {\omega }_{0}t.$$

3) L'amplitude par l'énergie, sans résoudre. Le circuit ne dissipe pas : l'énergie $\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}{C}_p{u}_C^2$ se conserve. Au départ, elle est entièrement dans la bobine ; quand $u_C$ est maximale, ${\dot{u}}_C=0$ donc $i=0$, et elle est entièrement dans le condensateur : $$\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}{C}_p{U}_{\max }^2⟹U_{\max }=I_0\sqrt{\frac{L}{C_p}}.$$ La grandeur $\sqrt{L/C}$ est homogène à une résistance (puisque $L\omega$ et $1/(C\omega )$ le sont, leur produit $L/C$ est le carré d'une résistance) : on l'appelle impédance caractéristique de l'oscillateur. Numériquement, $\sqrt{L/C_p}=\sqrt{0,20/10^{-10}}=4,47\times 10^4\Omega$, d'où $$U_{\max }=0,30\times 4,47\times 10^4\approx 1,34\times 10^4\mathrm{V}=13,4\mathrm{kV}.$$ La fréquence propre vaut $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{L{C}_p}}\approx 35,6\mathrm{kHz}$ et le maximum est atteint au quart de période, en $T_0/4=\frac{\pi }{2{\omega }_0}\approx 7,0\mu \mathrm{s}$.

Commentaire physique. Une bobine alimentée sous 12 volts fait apparaître, à l'ouverture, plus de dix mille volts entre ses bornes, donc entre les lames du contact qui vient tout juste de s'écarter. Le champ disruptif de l'air est de l'ordre de $3\mathrm{kV}$ par millimètre : un arc éclate entre les lames, qui s'usent. L'énergie en jeu est pourtant modeste, $\frac{1}{2}L{I}_0^2=9,0\mathrm{mJ}$ ; c'est la petitesse de $C_p$ qui oblige cette énergie à s'exprimer sous une tension énorme, puisque $\frac{1}{2}C{U}^2$ doit valoir $9\mathrm{mJ}$ avec $C$ minuscule. Le chapitre des circuits du premier ordre disait « couper le courant d'une bobine produit une surtension » ; la capacité parasite dit combien.

4) La résistance était-elle négligeable ? Le facteur de qualité de la maille vaut $Q=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{L}{C_p}}=\frac{4,47\times 10^4}{40}\approx 1,1\times 10^3$. Le cours dit que l'amplitude décroît en ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ avec $\tau =2Q/{\omega }_0=2L/r=10\mathrm{ms}$ ; sur le quart de période de $7\mu \mathrm{s}$, l'amortissement relatif est de l'ordre de $7\times 10^{-6}/10^{-2}\approx 10^{-3}$. Négliger $r$ est donc parfaitement légitime pour calculer le premier maximum.

5) Avec un condensateur de protection. On remplace $C_p$ par $C_p+C\approx C=0,10\mu \mathrm{F}$ (la capacité parasite est mille fois plus petite). Alors $\sqrt{L/C}=\sqrt{0,20/10^{-7}}\approx 1,41\times 10^3\Omega$ et $$U_{\max }=0,30\times 1414\approx 424\mathrm{V},f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\approx 1,12\mathrm{kHz}.$$ La surtension est divisée par $\sqrt{1000}\approx 32$, comme l'annonce la loi $U_{\max }\propto 1/\sqrt{C}$. Le prix à payer : le circuit oscille maintenant à $1,1\mathrm{kHz}$ avec $Q=1414/40\approx 35$, c'est-à-dire qu'il « sonne » une trentaine de périodes en inversant la tension. C'est pourquoi on ajoute en pratique une résistance en série avec ce condensateur, qui amortit l'oscillation, ou une diode de roue libre.

6) Conditions initiales quelconques. Avec $u_C(0)=u_0$ et $i(0)=i_0$, la solution $A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t$ donne $A=u_0$ et $B{\omega }_0={\dot{u}}_C(0)=i_0/C$, d'où $$u_C(t)=u_0\cos {\omega }_{0}t+\frac{i_0}{C{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t=U_m\cos ({\omega }_{0}t+\phi ),$$ avec $U_m=\sqrt{u_0^2+\frac{i_0^2}{C^2{\omega }_0^2}}=\sqrt{u_0^2+\frac{L}{C}{i}_0^2}$ (car $\frac{1}{C^2{\omega }_0^2}=\frac{LC}{C^2}=\frac{L}{C}$), et $\cos \phi =u_0/U_m$, $\sin \phi =-\frac{i_0}{C{\omega }_0{U}_m}$. Vérification par l'énergie : $\frac{1}{2}C{u}_0^2+\frac{1}{2}L{i}_0^2=\frac{1}{2}C{U}_m^2$ donne exactement $U_m^2=u_0^2+\frac{L}{C}{i}_0^2$. Les deux conditions initiales jouent le même rôle : chacune apporte son énergie. Application au relais : avec $u_0=-12\mathrm{V}$ et $i_0=0,30\mathrm{A}$, $U_m=\sqrt{12^2+(1,3416\times 10^4{)}^2}\approx 1,3416\times 10^4\mathrm{V}$ : la tension initiale ne change l'amplitude que de quelques millivolts. L'approximation $u_C(0^{+})\approx 0$ était donc justifiée.

Ce que l'exercice installe. Un oscillateur se lance aussi bien par un courant que par une charge : la condition sur $i$ fixe la dérivée de $u_C$ à l'origine. L'amplitude se lit sur l'énergie avant toute résolution, et l'impédance caractéristique $\sqrt{L/C}$ est le « taux de change » entre courant et tension dans l'oscillateur. Ordre de grandeur à retenir : quelques picofarads de capacité parasite suffisent à transformer une coupure de courant en kilovolts.