Le détecteur de métaux : sensibilité d'un oscillateur

1) Ordres de grandeur. $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ donne $L=\frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^{2}C}=\frac{1}{4{\pi }^2\times 10^{10}\times 10^{-8}}\approx 2,5\times 10^{-4}\mathrm{H}=0,25\mathrm{mH}$. Une bobine de quelques dizaines de spires de grand diamètre a une inductance de cet ordre ; $10\mathrm{nF}$ est un condensateur courant.

2) La différentiation logarithmique. On prend le logarithme de $f_0=(2\pi {)}^{-1}{L}^{-1/2}{C}^{-1/2}$ :

$$\ln f_0=-\ln (2\pi )-\frac{1}{2}\ln L-\frac{1}{2}\ln C,\text{d’ouˋ}\frac{\mathrm{d}{f}_0}{f_0}=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}L}{L}-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}C}{C}.$$

Pour de petites variations, on confond la différentielle et l'accroissement : $\frac{\Delta f}{f_0}\approx -\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}$. Si $L$ diminue de $1\%$, $f_0$ augmente de $0,5\%$, soit $\Delta f\approx +500\mathrm{Hz}$. Le signe est cohérent avec la physique : moins d'inertie électrique, oscillation plus rapide.

3) Le calcul exact et le contrôle. $f_0^{\prime }=f_0(1-0,01{)}^{-1/2}$, donc $\Delta f=f_0[(0,99{)}^{-1/2}-1]\approx 100000\times 0,005038\approx 504\mathrm{Hz}$. L'approximation donne $500\mathrm{Hz}$, soit une erreur de $4\mathrm{Hz}$, moins de $1\%$ de l'écart. On l'avait prévu : le développement $(1+x{)}^{-1/2}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+\dots$ avec $x=-0,01$ montre que le terme négligé vaut $\frac{3}{8}{x}^2{f}_0\approx 3,75\mathrm{Hz}$. L'approximation linéaire est donc contrôlée : l'erreur est du second ordre en $\Delta L/L$.

4) Le capteur capacitif. Même formule, avec $C$ : $\frac{\Delta f}{f_0}\approx -\frac{1}{2}\times 2\%=-1\%$ ; la fréquence baisse de $1\%$ (exactement $(1,02{)}^{-1/2}-1\approx -0,985\%$). La différentiation logarithmique transforme un produit de puissances en une somme de variations relatives pondérées par les exposants.

5) Sensibilité et exigence sur la référence. Un écart de $10\mathrm{Hz}$ sur $100\mathrm{kHz}$ est un écart relatif de $10^{-4}$, qui correspond à $\left|\frac{\Delta L}{L}\right|=2\times 10^{-4}$. Mais un tel écart n'a de sens que si la fréquence de référence est elle-même stable à mieux que $10^{-4}$ : une dérive thermique du condensateur de référence de $0,02\%$ simulerait un objet métallique. C'est pourquoi on compare l'oscillateur de détection à un oscillateur de référence identique et voisin (les dérives se compensent dans la différence) ou à un quartz.

Ce que l'exercice installe. La différentiation logarithmique est l'outil de toute question de sensibilité : elle donne, en une ligne, l'effet relatif de chaque paramètre, et l'erreur commise est du second ordre. Elle reviendra dans tous les calculs d'incertitude. Et une idée de métrologie : une mesure différentielle n'est jamais meilleure que la stabilité de sa référence.