Le portique antivol — exercice corrigé d'électricité (PCSI) (chapitre 4)

Le portique antivol

Oscillations libres : circuits LC et RLC · niveau 2

Énoncé

Les étiquettes antivol de certains magasins contiennent un petit circuit LC accordé à $f_{0} = 8.2 M Hz$ . On modélise le portique ainsi : il émet une brève salve d'oscillations à $f_{0}$ , se tait, puis « écoute ».

On suppose l'inductance de la spirale de l'étiquette égale à $L = 1.0 μ H$ . Quelle capacité faut-il ?
Après la salve, le circuit de l'étiquette est en régime libre. Combien de temps continue-t-il d'osciller de façon détectable si $Q = 50$ ? Pourquoi le portique l'entend-il ?
Pourquoi le passage en caisse « désactive »-t-il l'étiquette (en détruisant ou en court-circuitant le condensateur) ?
Pourquoi un objet métallique quelconque ne déclenche-t-il pas l'alarme ?

Corrigé

1. $C = \frac{1}{( 2 π f _{0} ) ^{2} L} = \frac{1}{( 2 π \times 8 , 2 \times 1 0 ^{6} ) ^{2} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 380 pF$ .

2. La salve a lancé l'oscillateur de l'étiquette ; une fois la salve finie, il oscille librement à $f_{0}$ et son amplitude est divisée par $e^{π} \approx 23$ au bout d'environ $Q = 50$ pseudo-périodes, soit $50/ f_{0} \approx 6 μ s$ . Le portique, qui s'est tu, capte ce signal résiduel à $f_{0}$ : c'est la signature de l'étiquette.

3. Sans condensateur (ou avec un condensateur court-circuité), il n'y a plus d'oscillateur LC à $f_{0}$ : l'étiquette ne « sonne » plus et n'est plus détectée.

4. Un objet métallique sans condensateur n'a pas d'oscillation propre à $8.2 M Hz$ de grand facteur de qualité : rien ne persiste après la salve. C'est l'oscillation libre, à une fréquence précise et pendant $\sim Q$ périodes, qui distingue l'étiquette du reste.