Racines, régimes et durée du transitoire

1) Les racines. On cherche des solutions en ${\mathrm{e}}^{rt}$ : $r^2+\frac{{\omega }_0}{Q}r+{\omega }_0^2=0$, de discriminant $\Delta ={\omega }_0^2\left(\frac{1}{Q^2}-4\right)$.

• Si $Q<\frac{1}{2}$, $\Delta >0$ : deux racines réelles négatives $r_{\pm }=\frac{{\omega }_0}{2Q}\left(-1\pm \sqrt{1-4Q^2}\right)$, régime apériodique.
• Si $Q=\frac{1}{2}$ : racine double $r=-{\omega }_0$, régime critique.
• Si $Q>\frac{1}{2}$ : deux racines complexes conjuguées $r=-\frac{{\omega }_0}{2Q}\pm j\Omega$, avec $\Omega ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$ et $j^2=-1$, régime pseudo-périodique ; la solution est $u={\mathrm{e}}^{-t/\tau }(A\cos \Omega t+B\sin \Omega t)$ avec $\tau =2Q/{\omega }_0$.

Dans tous les cas, les parties réelles des racines sont négatives : le régime libre s'éteint. Toute la question est à quelle vitesse.

2) Faible amortissement, $Q\gg 1$. L'oscillation reste dans l'enveloppe $u_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ (à un facteur près très voisin de 1), avec $\tau =2Q/{\omega }_0$. Elle rentre définitivement dans la bande des 5 % quand ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }\approx 0,05$, soit $$t_5\approx \tau \ln 20=\frac{2Q\ln 20}{{\omega }_0}\approx \frac{6Q}{{\omega }_0}.$$ Pour $Q=5$ : $t_5\approx 30/{\omega }_0$ (la simulation donne $29,0/{\omega }_0$). Le temps de réponse croît avec $Q$ : un bon oscillateur est un mauvais instrument de mesure.

3) Fort amortissement, $Q\ll 1$. On développe $\sqrt{1-4Q^2}\approx 1-2Q^2$ : la racine lente vaut $r_{+}\approx \frac{{\omega }_0}{2Q}(-2Q^2)=-Q{\omega }_0$, la racine rapide $r_{-}\approx -{\omega }_0/Q$. Le terme en ${\mathrm{e}}^{r_{-}t}$ meurt très vite ; c'est le terme lent qui commande, et ${\mathrm{e}}^{-Q{\omega }_{0}t}\approx 0,05$ donne $$t_5\approx \frac{\ln 20}{Q{\omega }_0}\approx \frac{3}{Q{\omega }_0}.$$ Pour $Q=0,1$ : la racine lente exacte vaut $-0,101{\omega }_0$, et $t_5\approx 30/{\omega }_0$ (simulation : $29,8/{\omega }_0$). Le temps de réponse croît aussi quand $Q$ diminue : trop d'amortissement rend l'aiguille paresseuse.

4) Le régime critique. Racine double $-{\omega }_0$ : $u=(A+Bt){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$. Les conditions initiales donnent $A=u_0$ et $\dot{u}(0)=B-{\omega }_{0}A=0$, soit $B={\omega }_0{u}_0$ : $$u(t)=u_0(1+{\omega }_{0}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}.$$ Cette fonction décroît sans jamais changer de signe. L'équation $(1+x){\mathrm{e}}^{-x}=0,05$, résolue numériquement, donne $x={\omega }_0{t}_5\approx 4,74$, soit $t_5\approx 4,7/{\omega }_0$.

Pourquoi c'est le plus rapide sans dépassement. Pour $Q<\frac{1}{2}$, la décroissance est commandée par la racine lente, de module $|r_{+}|=\frac{{\omega }_0}{2Q}\left(1-\sqrt{1-4Q^2}\right)$. En écrivant $|r_{+}|=\frac{{\omega }_0}{2Q}\cdot \frac{4Q^2}{1+\sqrt{1-4Q^2}}=\frac{2Q{\omega }_0}{1+\sqrt{1-4Q^2}}$, on voit que $|r_{+}|$ croît avec $Q$ (le numérateur croît, le dénominateur décroît) et atteint ${\omega }_0$ en $Q=\frac{1}{2}$. Le régime critique a la décroissance la plus rapide de tous les régimes qui ne dépassent pas l'équilibre. La simulation le confirme : $9,3/{\omega }_0$ pour $Q=0,3$, contre $4,7/{\omega }_0$ au critique.

5) Le tableau, et ce qu'il corrige. L'exécution du script donne :

Le minimum n'est pas au régime critique : il est vers $Q\approx 0,72$, avec $t_5\approx 2,9/{\omega }_0$ contre $4,7/{\omega }_0$ au critique. L'explication tient dans le dépassement. Pour $Q$ un peu supérieur à $\frac{1}{2}$, l'oscillateur traverse l'équilibre et le dépasse de $u_0\exp (-\pi /\sqrt{4Q^2-1})$ ; tant que ce dépassement reste inférieur à 5 %, il est invisible pour le critère, et l'oscillateur, qui est plus « nerveux » qu'au critique, entre plus tôt dans la bande. Le dépassement atteint exactement 5 % quand $$\frac{\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}=\ln 20⟺Q=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{\pi }{\ln 20}\right)}^2}\approx 0,72.$$ Juste au-delà, le premier dépassement sort de la bande, et il faut attendre qu'il revienne : $t_5$ saute de $2,9$ à $4,9/{\omega }_0$. Le régime critique est le retour le plus rapide sans dépassement ; si l'on tolère un dépassement égal à la précision demandée, on fait mieux, vers $Q\approx 0,7$.

6) Le galvanomètre. ${\omega }_0=2\pi /T_0=\pi \mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. On divise les temps du tableau par $\pi$ : $Q=5$ donne $29,0/\pi \approx 9,2\mathrm{s}$ ; $Q=0,1$ donne $29,8/\pi \approx 9,5\mathrm{s}$ ; le critique, $4,74/\pi \approx 1,5\mathrm{s}$ ; $Q\approx 0,7$, environ $0,93\mathrm{s}$. Un mauvais réglage multiplie par dix l'attente de chaque lecture, dans un sens comme dans l'autre. C'est pourquoi les instruments à aiguille sont réglés au voisinage du critique, légèrement en dessous de $Q=0,7$ quand on accepte un petit dépassement.

Ce que l'exercice installe. La durée du transitoire se lit sur les racines : c'est la partie réelle de la racine la plus lente qui commande. Elle vaut $\sim 2Q/{\omega }_0$ si $Q\gg 1$, $\sim 1/(Q{\omega }_0)$ si $Q\ll 1$, et $\sim 1/{\omega }_0$ au voisinage du critique : les deux extrêmes sont lents, et l'optimum dépend du critère choisi. Retenir la phrase exacte : « critique = le plus rapide sans dépassement ».