Réponse d'un RLC à un échelon : le dépassement

1) L'équation. La loi des mailles s'écrit $E=Ri+L\dot{i}+u_C$ avec $i=C{\dot{u}}_C$, soit $LC{\ddot{u}}_C+RC{\dot{u}}_C+u_C=E$, et sous forme canonique $${\ddot{u}}_C+\frac{{\omega }_0}{Q}{\dot{u}}_C+{\omega }_0^2{u}_C={\omega }_0^{2}E.$$ La solution particulière constante est $u_C=E$ : c'est le régime permanent, où le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ($i=0$) et la bobine comme un fil, de sorte que toute la tension $E$ se retrouve aux bornes de $C$.

2) Les conditions initiales, par continuité. La tension aux bornes d'un condensateur est continue : $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=0$. L'intensité dans une bobine est continue : $i(0^{+})=0$, donc ${\dot{u}}_C(0^{+})=i(0^{+})/C=0$. Le point délicat : on ne peut pas écrire de condition initiale sur $\dot{i}$ par continuité ; d'ailleurs $\dot{i}(0^{+})=E/L$ (toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de la bobine en $0^{+}$, puisque $u_C$ et $Ri$ sont nulles). Ce sont $u_C$ et $i$, liées à l'énergie, qui sont continues.

3) La résolution. La solution générale est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation homogène, pseudo-périodique puisque $Q>\frac{1}{2}$ : $$u_C(t)=E+{\mathrm{e}}^{-t/\tau }(A\cos \Omega t+B\sin \Omega t).$$ $u_C(0)=0$ donne $A=-E$. En dérivant, ${\dot{u}}_C(0)=-\frac{A}{\tau }+B\Omega =\frac{E}{\tau }+B\Omega =0$, d'où $B=-\frac{E}{\Omega \tau }$. On obtient l'expression annoncée.

4) Le premier maximum et le dépassement. Notons $a=\frac{1}{\Omega \tau }$. On dérive le produit : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[{\mathrm{e}}^{-t/\tau }(\cos \Omega t+a\sin \Omega t)]={\mathrm{e}}^{-t/\tau }\left[\left(a\Omega -\frac{1}{\tau }\right)\cos \Omega t-\left(\frac{a}{\tau }+\Omega \right)\sin \Omega t\right].$$ Or $a\Omega =1/\tau$ : le terme en cosinus disparaît. Et $\frac{a}{\tau }+\Omega =\frac{1/{\tau }^2+{\Omega }^2}{\Omega }=\frac{{\omega }_0^2}{\Omega }$, car $\frac{1}{{\tau }^2}+{\Omega }^2=\frac{{\omega }_0^2}{4Q^2}+{\omega }_0^2\left(1-\frac{1}{4Q^2}\right)={\omega }_0^2$. D'où $$\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}=\frac{E{\omega }_0^2}{\Omega }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\sin \Omega t.$$ Cette dérivée est positive sur $]0,\pi /\Omega [$ et s'annule en changeant de signe en $t_m=\pi /\Omega$ : c'est le premier maximum. On y a $\cos \Omega t_m=-1$ et $\sin \Omega t_m=0$, donc $u_C(t_m)=E\left(1+{\mathrm{e}}^{-\pi /(\Omega \tau )}\right)$. Comme $\Omega \tau ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\cdot \frac{2Q}{{\omega }_0}=\sqrt{4Q^2-1}$, $$D=\exp \left(-\frac{\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}\right).$$ Pour $Q=1$ : $D={\mathrm{e}}^{-\pi /\sqrt{3}}\approx 0,163$, soit un dépassement de $16\%$, atteint en ${\omega }_0{t}_m=\pi /\sqrt{3/4}\approx 3,63$. Pour $Q=5$ : $D={\mathrm{e}}^{-\pi /\sqrt{99}}\approx 0,729$, soit $73\%$, en ${\omega }_0{t}_m\approx 3,16$. (Une intégration numérique de l'équation donne les mêmes valeurs à $10^{-6}$ près.) $D$ est sans dimension et ne dépend que de $Q$ : c'est une signature du facteur de qualité.

5) Mesurer $Q$ par le dépassement. On inverse : $\sqrt{4Q^2-1}=\frac{\pi }{\ln (1/D)}$, soit $$Q=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{\pi }{\ln (1/D)}\right)}^2}.$$ Avec $D=0,20$ : $\ln 5\approx 1,609$, $\pi /\ln 5\approx 1,952$, et $Q\approx \frac{1}{2}\sqrt{1+3,81}\approx 1,10$. Une seule lecture sur l'écran donne $Q$, sans connaître $R$, $L$ ni $C$.

6) Les cas limites. Quand $Q\to \infty$, $D\to 1$ et $u_{\max }\to 2E$ : on retrouve le circuit LC soumis à un échelon, $u_C=E(1-\cos {\omega }_{0}t)$, qui oscille entre $0$ et $2E$ autour de sa position d'équilibre $E$, exactement comme une masse accrochée brusquement à un ressort descend deux fois plus bas que sa position d'équilibre. Quand $Q\to {\frac{1}{2}}^{+}$, $\sqrt{4Q^2-1}\to 0$, $D\to 0$ et $t_m\to \infty$ : le dépassement disparaît au régime critique, raccord continu avec les régimes sans oscillation. D'où les $24\mathrm{V}$ : un circuit peu amorti soumis à un échelon de $12\mathrm{V}$ porte son condensateur jusqu'à près de $2\times 12=24\mathrm{V}$. La bobine, lancée par le courant, ne s'arrête pas quand $u_C$ atteint $E$ ; c'est un piège classique pour le choix de la tension de service d'un condensateur.

Ce que l'exercice installe. La réponse à un échelon se construit en trois temps : solution particulière (le régime permanent), solution homogène (selon $Q$), constantes fixées par la continuité de $u_C$ et de $i$. Le dépassement relatif ne dépend que de $Q$ et fournit une mesure de $Q$ par une seule lecture. Le « deux fois la consigne » de l'oscillateur non amorti est un ordre de grandeur à garder en tête.