Courants de Foucault : le modèle des rails

1) Le modèle. La « barre » a pour longueur $a$ (le sens du courant) et pour section $bh$ : $r=\frac{a}{\sigma bh}$. Elle se déplace à $v$ dans le champ : par le même calcul de flux que pour le rail, la f.é.m. a pour valeur absolue $e=Bav$. Le courant, fermé par les « rails » de résistance négligeable, vaut $$i=\frac{e}{r}=\frac{Bav\sigma bh}{a}=\sigma Bvbh,$$ et la force de Laplace sur la tranche, opposée à $\overrightarrow{v}$ par la loi de Lenz, a pour valeur $$F=iaB=\sigma B^{2}vabh=\sigma B^{2}vV.$$ Homogénéité : plutôt que de manipuler les unités de $\sigma$, on vérifie que $Fv$ est une puissance. Or $\frac{e^2}{r}=\frac{(Bav{)}^2\sigma bh}{a}=\sigma B^2{v}^{2}abh=Fv$, et $e^2/r$ est la puissance Joule dissipée dans la tranche : $F$ est bien une force, et l'on a vérifié au passage le bilan « puissance de freinage égale puissance Joule ». Elle est proportionnelle à la vitesse, au volume de métal sous le pôle, à la conductivité et au carré du champ.

2) La plaque d'aluminium. $V=0,02\times 0,02\times 0,002=8\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^3$, d'où $$F=3,8\times 10^7\times 0,25\times 1\times 8\times 10^{-7}\approx 7,6\mathrm{N}.$$ C'est une force considérable pour une plaque de quelques dizaines de grammes : un pendule à plaque d'aluminium qui passe dans l'entrefer d'un électroaimant (pendule de Waltenhofen) est arrêté presque net, alors qu'une plaque fendue en peigne y passe presque librement. Le modèle surestime la force : la résistance du chemin de retour, dans le reste de la plaque, n'est pas nulle, et le courant ne se referme pas entièrement à l'extérieur du pôle ; un facteur deux ou trois est typique. L'ordre de grandeur reste correct.

3) Le ralentisseur. La puissance à dissiper est celle du poids : $P=mgv\sin \alpha$, avec $\sin \alpha \approx 0,07$ pour une pente de $7\%$ et $v=20\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$P\approx 4,0\times 10^4\times 9,81\times 20\times 0,07\approx 5,5\times 10^5\mathrm{W}\approx 0,55\mathrm{MW}.$$ Dans le modèle, la puissance dissipée est $F{v}_{\mathrm{r}}=\sigma B^2{v}_{\mathrm{r}}^{2}V$ ($v_{\mathrm{r}}$ : vitesse du métal sous les pôles), d'où $$V=\frac{P}{\sigma B^2{v}_{\mathrm{r}}^2}\approx \frac{5,5\times 10^5}{5\times 10^6\times 1\times 900}\approx 1,2\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3,$$ environ $120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ de métal sous l'ensemble des pôles : quelques plots de quelques centimètres de côté sur un disque d'un centimètre d'épaisseur. Les ralentisseurs réels dissipent effectivement plusieurs centaines de kilowatts, en chauffant leurs rotors, qu'il faut ventiler. La même physique sert au frein linéaire à courants de Foucault de certains trains à grande vitesse (l'ICE 3 allemand), où des électroaimants placés au-dessus du rail y induisent les courants, et aux tours de chute libre des parcs d'attractions, freinées par des aimants permanents et des lames de cuivre.

4) L'arrêt. La force est proportionnelle à $v$ : elle s'annule à l'arrêt. Le frein ralentit d'autant moins que le véhicule va lentement — comme la barre lancée, il ne s'arrête jamais en temps fini sous l'effet de ce seul frein — et il ne peut pas tenir un véhicule immobile dans une pente : il faut des freins à friction pour finir et pour stationner. En revanche, il ne s'use pas et ne s'échauffe pas par frottement : c'est le frein idéal des longues descentes.

5) Le feuilletage. Dans un noyau soumis à un champ variable $B(t)$, les courants de Foucault circulent en boucles dans le plan perpendiculaire au champ ; dans une tôle d'épaisseur $\delta$, une boucle a une largeur au plus $\delta$ et une hauteur $H$ (la hauteur de la tôle). Sa f.é.m. est de l'ordre de $H\delta |\dot{B}|$ (aire fois vitesse de variation du champ). Sa résistance est de l'ordre de $\frac{H}{\sigma \delta d}$ ($d$ : profondeur), puisque le courant parcourt une longueur $\sim H$ dans une section $\sim \delta d$. La puissance dissipée dans la boucle est $\frac{e^2}{r}\sim \sigma H{\delta }^{3}d{\dot{B}}^2$, pour un volume $H\delta d$ : par unité de volume, $$p\sim \sigma {\delta }^2{\dot{B}}^2.$$ (Un calcul complet, en sommant les boucles emboîtées, donne $\sigma {\delta }^2{\dot{B}}^2/12$.) Diviser l'épaisseur par $10$ divise les pertes volumiques par $100$, à flux égal : c'est pourquoi on feuillette les noyaux en tôles de quelques dixièmes de millimètre, isolées entre elles par un vernis.

Ce que l'exercice installe. Un modèle simple bien choisi — une tranche de plaque vue comme une barre sur rails — donne la loi d'échelle complète d'un phénomène réputé compliqué : $F=\sigma B^{2}vV$. Avec elle on fait des ordres de grandeur réalistes (une plaque arrêtée net, un ralentisseur de plusieurs centaines de kilowatts) et l'on comprend pourquoi les courants de Foucault sont recherchés dans un frein et combattus dans un transformateur.