L'amortisseur électromagnétique

1) L'équation. Avec les conventions communes (la barre à l'abscisse $x_{\mathrm{e}}+x$, $x_{\mathrm{e}}$ fixe), $\Phi =B\ell (x_{\mathrm{e}}+x)$, $e=-B\ell \dot{x}$, $i=-B\ell \dot{x}/R$, et la force de Laplace vaut $-\frac{B^2{\ell }^2}{R}\dot{x}{\overrightarrow{u}}_x$. Le ressort exerce $-kx{\overrightarrow{u}}_x$. D'où $$m\ddot{x}=-kx-\frac{B^2{\ell }^2}{R}\dot{x}⟺\ddot{x}+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,$$ avec ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ et $\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{B^2{\ell }^2}{mR}$, soit $$Q=\frac{mR{\omega }_0}{B^2{\ell }^2}=\frac{R\sqrt{km}}{B^2{\ell }^2}.$$ Numériquement ${\omega }_0=\sqrt{20/0,050}=20\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\sqrt{km}=1,0\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$.

2) Le paradoxe de $R$. On attend d'une résistance qu'elle dissipe, donc qu'elle amortisse. Mais ici la f.é.m. est imposée par le mouvement ($e=B\ell \dot{x}$) ; la puissance dissipée, $e^2/R$, est donc d'autant plus petite que $R$ est grande, de même que la force de freinage $B^2{\ell }^2\dot{x}/R$. Une grande résistance laisse passer peu de courant, et sans courant pas de force. À la limite du circuit ouvert ($R\to \infty$), $i=0$, aucune force, $Q\to \infty$ : la barre oscille sans amortissement. À l'inverse, un court-circuit ($R\to 0$) donne un amortissement maximal. (C'est le contraire d'un circuit RLC série alimenté par une source, où $Q=\frac{1}{R}\sqrt{L/C}$ diminue quand $R$ augmente : là, c'est le courant qui est imposé par la dynamique, et la puissance $R{i}^2$ croît avec $R$.)

3) Valeurs. Le régime critique correspond à $Q=1/2$ : $$B_{\mathrm{c}}^2=\frac{2R\sqrt{km}}{{\ell }^2}=\frac{2\times 0,010\times 1,0}{0,04}=0,50{\mathrm{T}}^2,B_{\mathrm{c}}\approx 0,71\mathrm{T}.$$ Pour $B=0,20\mathrm{T}$ : $Q=\frac{0,010\times 1,0}{0,04\times 0,04}=6,25$, régime pseudo-périodique faiblement amorti : l'amplitude, en ${\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/(2Q)}$, est divisée par $\mathrm{e}$ en $Q/\pi \approx 2$ pseudo-périodes, si bien qu'on voit une dizaine d'oscillations. Il faut donc des champs forts et des résistances très faibles pour un amortissement efficace : le coefficient $B^2{\ell }^2/R$ doit être comparable à $\sqrt{km}$.

4) Bilan. On multiplie l'équation par $\dot{x}$ : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2\right)=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}{\dot{x}}^2=-R{i}^2.$$ L'énergie mécanique de l'oscillateur décroît exactement de l'énergie dissipée dans la résistance : la force de Laplace prend à la barre ce que le circuit dissipe.

5) Applications. L'amortissement par induction est sans contact, sans usure et proportionnel à la vitesse (il ne fausse donc pas la position d'équilibre) : amortissement des fléaux des balances de précision (une plaque métallique solidaire du fléau passe dans l'entrefer d'un aimant), amortisseurs de vibrations de machines, freinage des tours de chute libre. Le réglage se fait, comme on l'a vu, par la résistance du circuit fermé.

Ce que l'exercice installe. L'analogie complète avec l'oscillateur amorti : l'induction fournit un frottement fluide de coefficient $B^2{\ell }^2/R$, et toute la discussion des régimes (pseudo-périodique, critique, apériodique) se transporte. Et le réflexe de se demander ce qui est imposé — la tension ou le courant — avant de dire si une résistance « amortit ».