La barre lancée

La stratégie. La barre est le siège d'une f.é.m. parce que le circuit qu'elle ferme change d'aire ; le courant induit, placé dans le champ, subit une force qui agit sur la barre. On a donc deux équations couplées — une électrique, une mécanique — qu'on écrit avec une seule orientation, fixée une fois pour toutes.

1) Orientation et grandeurs électriques. La résistance est à l'abscisse $x=0$, la barre à l'abscisse $x(t)>0$. On oriente le circuit de normale $+{\overrightarrow{u}}_z$ (sens trigonométrique vu de dessus) : dans la barre, le courant positif va selon $+{\overrightarrow{u}}_y$. La surface du circuit est le rectangle d'aire $\ell x$, traversé par le champ uniforme, d'où $$\Phi =B\ell x,e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-B\ell v.$$ Le circuit se réduit à la f.é.m. $e$ et à la résistance $R$ (convention générateur pour $e$) : $e=Ri$, soit $$i=-\frac{B\ell v}{R}.$$ Avec $v>0$, $i<0$ : le courant circule en réalité dans le sens horaire vu de dessus. Lenz le confirme : l'aire augmente, le flux augmente, le courant induit crée dans le circuit un champ dirigé vers le bas, ce qui demande un courant horaire.

La force de Laplace sur la barre (longueur $\ell$ parcourue par $i$ selon ${\overrightarrow{u}}_y$) vaut $$\overrightarrow{F}=i\ell {\overrightarrow{u}}_y\wedge B{\overrightarrow{u}}_z=i\ell B{\overrightarrow{u}}_x=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v{\overrightarrow{u}}_x.$$ Elle est opposée à la vitesse : c'est une force de freinage, proportionnelle à $v$, exactement comme un frottement fluide.

2) Équation du mouvement. Le poids et la réaction des rails sont verticaux ; il n'y a pas de frottement. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ${\overrightarrow{u}}_x$ donne $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v,\text{soit}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\frac{v}{\tau }=0\text{avec}\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2}.$$ D'où $v(t)=v_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$. Homogénéité : $B\ell v$ est une tension, donc $B^2{\ell }^2/R$ est en ${\mathrm{V}}^2{\mathrm{s}}^2{\mathrm{m}}^{-2}/\Omega$, c'est-à-dire en $\mathrm{W}{\mathrm{s}}^2{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; divisé par une masse, l'inverse d'un temps. Numériquement $$\tau =\frac{0,050\times 0,10}{(0,40\times 0,30{)}^2}=\frac{5,0\times 10^{-3}}{1,44\times 10^{-2}}\approx 0,35\mathrm{s}.$$

3) L'arrêt, dans le temps et dans l'espace. Dans le temps, la barre ne s'arrête jamais : $v$ décroît exponentiellement et n'est nulle qu'à la limite. En revanche, la distance parcourue converge : $$x_{\infty }={\int }_0^{\infty }{v}_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\mathrm{d}t=v_0\tau =\frac{mR{v}_0}{B^2{\ell }^2}\approx 2,0\times 0,347\approx 0,69\mathrm{m}.$$ On peut l'obtenir sans résoudre : $m\mathrm{d}v=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v\mathrm{d}t=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}\mathrm{d}x$, donc $m(0-v_0)=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}{x}_{\infty }$. La barre s'arrête à distance finie, en un temps infini — c'est le propre d'une force proportionnelle à la vitesse.

4) Bilan. La puissance Joule est $R{i}^2=\frac{B^2{\ell }^2{v}^2}{R}$, et la puissance de la force de Laplace est $Fv=-\frac{B^2{\ell }^2{v}^2}{R}$ : elles sont opposées à chaque instant. Le théorème de l'énergie cinétique donne $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=Fv=-R{i}^2$ ; en intégrant, $$W_{\mathrm{J}}=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 0,050\times 2,0^2=0,10\mathrm{J}.$$ Toute l'énergie cinétique finit en chaleur dans $R$, et ce résultat ne dépend ni de $R$ ni de $B$ : ils ne règlent que la rapidité de la conversion.

La charge : $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=i\ell B$, donc $m\mathrm{d}v=B\ell \mathrm{d}q$ et $$q=\frac{m(0-v_0)}{B\ell }=-\frac{0,050\times 2,0}{0,12}\approx -0,83\mathrm{C}.$$ Le signe moins dit seulement que le courant a circulé dans le sens horaire. L'intensité initiale vaut $|i_0|=B\ell v_0/R=2,4\mathrm{A}$.

5) L'inductance. Le circuit est une grande boucle d'une trentaine de centimètres de côté ; son inductance propre est de l'ordre de ${\mu }_0$ fois sa dimension, soit quelques dixièmes de microhenry. La constante de temps électrique $L/R$ est donc de quelques microsecondes, cent mille fois plus courte que $\tau$ : le courant suit instantanément la vitesse, et l'on a eu raison d'écrire $e=Ri$.

Ce que l'exercice installe. La méthode complète du rail : orientation unique, flux, $e=-\mathrm{d}\Phi /\mathrm{d}t$, équation électrique, force de Laplace avec le même $i$, principe fondamental, bilan. Et une lecture physique : l'induction agit comme un frottement fluide de coefficient $B^2{\ell }^2/R$, qui convertit intégralement l'énergie cinétique en chaleur. On retrouvera ce coefficient dans chaque exercice de rails.