Le cadre lancé

Le schéma, en mots. L'axe est vertical, le champ horizontal. La normale $\overrightarrow{n}$ du cadre tourne dans le plan horizontal ; le sens positif du courant est relié à $\overrightarrow{n}$ par la règle de la main droite. C'est la configuration de la section du cours sur le cadre en rotation, dont on utilise les trois résultats : $\Phi =NBS\cos \theta$, $e=NBS\omega \sin \theta$, $\Gamma =-NBSi\sin \theta$.

1) L'équation du mouvement. Le flux est $\Phi ={\Phi }_0\cos \theta$, donc $e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}={\Phi }_0\omega \sin \theta$, et le cadre fermé sur lui-même donne $i=\frac{e}{R}=\frac{{\Phi }_0\omega \sin \theta }{R}$. Le moment magnétique est $\overrightarrow{m}=NiS\overrightarrow{n}$ ; le couple de Laplace $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ a pour composante sur l'axe $\Gamma =-NBSi\sin \theta =-{\Phi }_{0}i\sin \theta$, d'où $$\Gamma =-\frac{{\Phi }_0^2}{R}\omega {\sin }^2\theta .$$ Ce couple est toujours de signe opposé à $\omega$ : il freine, sauf aux instants où $\sin \theta =0$ (cadre perpendiculaire au champ) où il s'annule. Le poids et la réaction de l'axe ont un moment nul par rapport à l'axe (axe passant par le centre de masse, liaison parfaite). Le théorème du moment cinétique donne $$J\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=-\frac{{\Phi }_0^2}{R}\omega {\sin }^2\theta .$$

2) La vitesse en fonction de l'angle. Le temps n'apparaît pas explicitement ; on prend $\theta$ comme variable : $\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}\theta }\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\omega \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}\theta }$. Tant que $\omega \ne 0$, on simplifie par $\omega$ : $$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}\theta }=-\frac{{\Phi }_0^2}{JR}{\sin }^2\theta =-\frac{{\Phi }_0^2}{JR}\frac{1-\cos 2\theta }{2}.$$ On intègre de $0$ à $\theta$ (avec $\theta (0)=0$) : $$\omega (\theta )={\omega }_0-\frac{{\Phi }_0^2}{JR}\left(\frac{\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{4}\right).$$ La vitesse angulaire décroît linéairement avec l'angle, à une petite ondulation près. Elle s'annule pour $\frac{\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{4}=\frac{JR{\omega }_0}{{\Phi }_0^2}$ ; l'ondulation étant bornée par $1/4$, on obtient, à mieux qu'un radian près, $${\theta }_{\mathrm{arr}}\simeq \frac{2JR{\omega }_0}{{\Phi }_0^2}.$$ Numériquement ${\Phi }_0=100\times 0,10\times 40\times 10^{-4}=0,040\mathrm{Wb}$, $\frac{{\Phi }_0^2}{JR}=\frac{1,6\times 10^{-3}}{2,0\times 10^{-4}}=8,0{\mathrm{s}}^{-1}$, donc ${\theta }_{\mathrm{arr}}\simeq \frac{2\times 300}{8,0}=75\mathrm{rad}$, soit environ $12$ tours (la résolution exacte de l'équation donne $74,5\mathrm{rad}$).

3) L'approximation de moyenne. Si $\omega$ varie peu sur un tour, on peut remplacer ${\sin }^2\theta$ par sa valeur moyenne $1/2$ : $$J\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\simeq -\frac{{\Phi }_0^2}{2R}\omega ⟹\omega (t)\simeq {\omega }_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau },\tau =\frac{2JR}{{\Phi }_0^2}=\frac{2\times 1,0\times 10^{-4}\times 2,0}{1,6\times 10^{-3}}=0,25\mathrm{s}.$$ La condition : d'après le 2), la vitesse angulaire perd environ $\pi {\Phi }_0^2/(JR)\approx 25\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ par tour ; l'approximation est bonne tant que $\omega$ est grand devant cette valeur, c'est-à-dire pendant presque tout le mouvement, et elle devient grossière pendant le dernier tour. Les deux descriptions sont cohérentes : l'angle total dans l'approximation exponentielle est ${\int }_0^{\infty }\omega \mathrm{d}t={\omega }_0\tau =75\mathrm{rad}$, le même que celui du 2).

4) Bilan et comparaison. On multiplie le théorème du moment cinétique par $\omega$ : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}J{\omega }^2\right)=\Gamma \omega =-ei=-R{i}^2$ — c'est la relation de couplage $\Gamma \omega +ei=0$ du cours. L'énergie cinétique initiale $\frac{1}{2}J{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\times 10^{-4}\times 9\times 10^4=4,5\mathrm{J}$ est intégralement dissipée dans le bobinage. La structure est exactement celle de la barre lancée : un freinage proportionnel à la vitesse, une exponentielle dans le temps, un arrêt à angle fini (${\omega }_0\tau$) comme la barre s'arrêtait à distance finie ($v_0\tau$). La correspondance est $m\leftrightarrow J$, $B\ell \leftrightarrow {\Phi }_0\sin \theta$.

L'inductance. Le cadre fait $6$ à $7\mathrm{cm}$ de côté et porte $100$ spires ; son inductance est de l'ordre de ${\mu }_0{N}^2$ fois sa dimension, soit $4\pi \times 10^{-7}\times 10^4\times 0,06\approx 0,8\mathrm{mH}$. À $300\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $L{\omega }_0\approx 0,24\Omega$, dix fois moins que $R$ : l'hypothèse est justifiée à une dizaine de pour cent près au début, et de mieux en mieux à mesure que le cadre ralentit.

Ce que l'exercice installe. Le cadre se traite comme le rail : orientation, flux, f.é.m., couple de Laplace avec le même $i$, théorème du moment cinétique, bilan. Le changement de variable $\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\omega \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}\theta }$ donne la loi exacte en fonction de l'angle ; l'approximation par la moyenne sur un tour est justifiée dès que la grandeur lente varie peu sur une période de la grandeur rapide.