Le moteur linéaire à rails

1) L'équation électrique. Avec les conventions communes, la barre est le siège de la f.é.m. induite $e=-B\ell v$, et le générateur ajoute $E$ dans le sens positif. La loi des mailles donne $E+e=Ri$, soit $$i=\frac{E-B\ell v}{R}.$$ Le terme $B\ell v$ s'oppose à $E$ dès que la barre avance : c'est la force contre-électromotrice. Au démarrage, $v=0$ et $i_{\mathrm{d}}=E/R=10\mathrm{A}$ : rien ne limite le courant que la résistance.

2) L'équation mécanique. La force de Laplace vaut $i\ell B{\overrightarrow{u}}_x$ : avec $i>0$ elle est motrice. Le principe fondamental donne $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=B\ell \frac{E-B\ell v}{R}-f.$$ En régime permanent, $B\ell i=f$, donc $i=\frac{f}{B\ell }$ et $$v_{\mathrm{r}}=\frac{E-Ri}{B\ell }=\frac{E}{B\ell }-\frac{Rf}{B^2{\ell }^2}.$$ À vide ($f=0$), le courant de régime est nul et $v_{\mathrm{vide}}=\frac{E}{B\ell }=10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : la barre accélère jusqu'à ce que sa f.c.é.m. égale exactement $E$.

3) Avec la charge. $i=\frac{1,0}{1,0\times 0,20}=5,0\mathrm{A}$ et $v_{\mathrm{r}}=\frac{2,0-0,20\times 5,0}{0,20}=5,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'équation mécanique a la constante de temps $\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2}=\frac{0,10\times 0,20}{0,04}=0,50\mathrm{s}$. Le courant de démarrage ($10\mathrm{A}$) vaut le double du courant de régime : c'est l'« appel de courant » au démarrage d'un moteur, d'autant plus fort que la résistance est faible.

4) Bilan. On multiplie la loi des mailles par $i$ : $$Ei=R{i}^2+B\ell vi.$$ La source fournit $Ei$ ; une part $R{i}^2$ est perdue par effet Joule ; le reste, $B\ell vi=F_{\mathrm{Laplace}}v$, est la puissance des actions de Laplace, c'est-à-dire la puissance mécanique reçue par la barre. Numériquement : $Ei=10\mathrm{W}$, $R{i}^2=5,0\mathrm{W}$, $B\ell vi=1,0\times 0,20\times 5,0\times 5,0=5,0\mathrm{W}=f{v}_{\mathrm{r}}$. Le rendement est $$\eta =\frac{B\ell vi}{Ei}=\frac{B\ell v}{E}=\frac{1,0}{2,0}=50\%.$$ La puissance mécanique, en fonction de la vitesse, vaut $P(v)=\frac{B\ell v(E-B\ell v)}{R}$, trinôme en $B\ell v$ nul en $0$ et en $E$, maximal au milieu : $B\ell v=E/2$, soit $v=v_{\mathrm{vide}}/2=5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $P_{\max }=\frac{E^2}{4R}=5,0\mathrm{W}$. Le point de fonctionnement choisi est donc celui de la puissance maximale, et le rendement y vaut exactement $50\%$. Pour mieux rendre, il faut tourner plus près de la vitesse à vide, en délivrant moins de puissance : rendement et puissance ne s'optimisent pas en même temps.

5) Le passage en générateur. Si $v>E/(B\ell )$, la f.c.é.m. dépasse $E$, et $i=\frac{E-B\ell v}{R}<0$ : le courant s'inverse. Alors $Ei<0$ : la source reçoit de la puissance (une batterie se recharge), et la force de Laplace, de signe opposé à $i$, devient résistante : c'est l'opérateur qui fournit la puissance. Le même dispositif est moteur ou générateur selon que $v$ est inférieure ou supérieure à $E/(B\ell )$ : c'est le principe du freinage régénératif des véhicules électriques.

Ce que l'exercice installe. La f.c.é.m. $B\ell v$ règle le courant d'un moteur : forte vitesse, faible courant ; démarrage, courant maximal. Le bilan $Ei=R{i}^2+B\ell vi$ s'obtient en une ligne en multipliant la loi des mailles par $i$, et le rendement électromécanique est le rapport f.c.é.m. sur tension d'alimentation. C'est le principe de tout moteur à courant continu, dont le rail est la version linéaire ; et la réversibilité moteur–générateur se lit sur le seul signe de $E-B\ell v$.