Rails fermés sur un condensateur

1) Les équations. Avec les conventions communes, $e=-B\ell v$. Le circuit comporte, en série, la f.é.m. $e$, la résistance et le condensateur ; avec $i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ et la tension $q/C$ en convention récepteur, la loi des mailles donne $$-B\ell v=Ri+\frac{q}{C}.$$ La force de Laplace est $i\ell B{\overrightarrow{u}}_x$, d'où l'équation mécanique $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=B\ell i$.

2) Une intégrale première. Puisque $i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$, l'équation mécanique s'écrit $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=B\ell \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$. Les deux membres sont des dérivées : on intègre de $0$ à $t$, avec $v(0)=v_0$ et $q(0)=0$, $$m(v-v_0)=B\ell q.$$ Physiquement : l'impulsion que la force de Laplace communique à la barre est proportionnelle à la charge qui a circulé. Cette relation vaut à chaque instant, quel que soit $R$.

3) Le régime final. Le condensateur se charge jusqu'à ce que le courant s'annule ; alors la barre n'est plus freinée, sa vitesse $v_{\infty }$ est constante, et la loi des mailles avec $i=0$ donne $q_{\infty }=-CB\ell v_{\infty }$. En reportant dans la relation du 2) : $$m(v_{\infty }-v_0)=-C{B}^2{\ell }^2{v}_{\infty }⟹v_{\infty }=\frac{m{v}_0}{m+C{B}^2{\ell }^2}.$$ La barre ne s'arrête pas : elle s'arrête de charger le condensateur quand la tension $q/C$ équilibre exactement sa f.é.m.

Cas limites. Si $C\to 0$, $v_{\infty }\to v_0$ : un condensateur de capacité nulle est un circuit ouvert, aucun courant ne passe, la barre n'est pas freinée. Si $C\to \infty$, $v_{\infty }\to 0$ : un condensateur infini ne se charge jamais à une tension finie, il se comporte comme un fil, et l'on retrouve la barre fermée sur une résistance, qui finit par s'arrêter.

4) L'énergie dissipée. Notons $\mu =C{B}^2{\ell }^2$ (c'est une masse). L'énergie finale est $$\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2+\frac{q_{\infty }^2}{2C}=\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2+\frac{1}{2}C{B}^2{\ell }^2{v}_{\infty }^2=\frac{1}{2}(m+\mu )v_{\infty }^2=\frac{1}{2}\frac{m^2{v}_0^2}{m+\mu }.$$ La différence avec l'énergie initiale $\frac{1}{2}m{v}_0^2$ est passée en chaleur : $$W_{\mathrm{J}}=\frac{1}{2}m{v}_0^2\frac{\mu }{m+\mu }.$$ $R$ n'y figure pas. Elle règle la durée du transitoire, jamais la quantité d'énergie perdue.

5) Application. $\mu =1\times 1^2\times 0,1^2=0,01\mathrm{kg}=m$. Donc $v_{\infty }=v_0/2=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $q_{\infty }=-CB\ell v_{\infty }=-0,1\mathrm{C}$ (tension finale $0,1\mathrm{V}$). Énergie initiale $\frac{1}{2}\times 0,01\times 2^2=20\mathrm{mJ}$ ; énergie cinétique finale $5\mathrm{mJ}$ ; énergie du condensateur $\frac{0,1^2}{2\times 1}=5\mathrm{mJ}$ ; chaleur $20-5-5=10\mathrm{mJ}$, la moitié de l'énergie initiale.

La constante de temps : en éliminant $v=v_0+B\ell q/m$ dans la loi des mailles, $R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+q\left(\frac{1}{C}+\frac{B^2{\ell }^2}{m}\right)=-B\ell v_0$, d'où $$\tau =\frac{R}{\frac{1}{C}+\frac{B^2{\ell }^2}{m}}=\frac{RCm}{m+C{B}^2{\ell }^2}=\frac{1\times 1\times 0,01}{0,02}=0,5\mathrm{s}.$$

Le rapprochement. Cette expression est celle d'un circuit $R$ en série avec deux condensateurs, $C$ et $C_m=m/(B^2{\ell }^2)$. Ce n'est pas une analogie de forme : l'énergie cinétique de la barre s'écrit $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\frac{m}{B^2{\ell }^2}(B\ell v{)}^2=\frac{1}{2}{C}_m{e}^2$, celle d'un condensateur de capacité $C_m$ chargé sous la tension $|e|$. La barre lancée est un condensateur « mécanique » chargé, qui se décharge dans un condensateur vide à travers $R$. Or on sait, depuis l'étude de la charge d'un condensateur à travers une résistance, que transférer de la charge d'un condensateur à un autre dissipe une énergie indépendante de la résistance — la moitié quand les capacités sont égales. Ici $C_m=1\mathrm{F}=C$ : on retrouve exactement la moitié.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes. D'abord, quand l'équation mécanique est de la forme $m\mathrm{d}v=B\ell \mathrm{d}q$, on intègre avant de résoudre : l'état final se lit sans aucune exponentielle. Ensuite, la conversion électromécanique fait apparaître des équivalences précises — une masse se comporte comme une capacité $m/(B\ell {)}^2$ — qui permettent de transporter un résultat connu de l'électricité vers la mécanique.