Rails inclinés : la chute freinée

Le schéma, en mots. On note ${\overrightarrow{u}}_X$ l'horizontale qui descend avec la pente, ${\overrightarrow{u}}_Z$ la verticale ascendante, ${\overrightarrow{u}}_Y$ la direction de la barre, avec ${\overrightarrow{u}}_X\wedge {\overrightarrow{u}}_Y={\overrightarrow{u}}_Z$. L'axe des rails, orienté vers le bas, est ${\overrightarrow{u}}_x=\cos \alpha {\overrightarrow{u}}_X-\sin \alpha {\overrightarrow{u}}_Z$ ; la barre est à l'abscisse $x$ comptée depuis la résistance. On oriente le circuit par la normale $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{u}}_x\wedge {\overrightarrow{u}}_Y=\cos \alpha {\overrightarrow{u}}_Z+\sin \alpha {\overrightarrow{u}}_X$, perpendiculaire au plan des rails et faisant l'angle $\alpha$ avec la verticale. Avec cette orientation, le courant positif parcourt la barre selon $+{\overrightarrow{u}}_Y$.

1) Flux et f.é.m. Le champ n'est pas perpendiculaire au plan du circuit : seule compte sa composante normale, $\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}=B\cos \alpha$. D'où

$$\Phi =B\ell x\cos \alpha ,e=-B\ell v\cos \alpha ,i=\frac{e}{R}=-\frac{B\ell v\cos \alpha }{R}.$$

2) La force. $\overrightarrow{F}=i\ell {\overrightarrow{u}}_Y\wedge B{\overrightarrow{u}}_Z=i\ell B{\overrightarrow{u}}_X$ : la force de Laplace est horizontale, et non parallèle aux rails. Sa composante utile est $\overrightarrow{F}\cdot {\overrightarrow{u}}_x=i\ell B\cos \alpha$. Le facteur $\cos \alpha$ apparaît donc deux fois : une fois dans le flux (le champ n'est pas normal au circuit), une fois dans la projection de la force (la force n'est pas parallèle au mouvement). Au total

$$F_x=-\frac{B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha }{R}v.$$

La composante de $\overrightarrow{F}$ selon $\overrightarrow{n}$ modifie la réaction normale des rails, ce qui est sans effet en l'absence de frottement.

3) Mouvement. Le poids a pour composante $mg\sin \alpha$ le long de ${\overrightarrow{u}}_x$ :

$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg\sin \alpha -\frac{B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha }{R}v.$$

C'est une équation du premier ordre de constante de temps $\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha }$ et de solution $v=v_{\lim }\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right)$, avec

$$v_{\lim }=\frac{mgR\sin \alpha }{B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha }.$$

Numériquement, $B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha =0,25\times 0,04\times 0,75=7,5\times 10^{-3}{\mathrm{T}}^2{\mathrm{m}}^2$, d'où

$$v_{\lim }=\frac{0,020\times 9,81\times 0,50\times 0,50}{7,5\times 10^{-3}}\approx 6,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},\tau =\frac{0,020\times 0,50}{7,5\times 10^{-3}}\approx 1,3\mathrm{s}.$$

4) Bilan en régime limite. La puissance du poids est $mg{v}_{\lim }\sin \alpha =0,020\times 9,81\times 6,54\times 0,5\approx 0,64\mathrm{W}$. Le courant vaut $|i|=B\ell v_{\lim }\cos \alpha /R\approx 1,13\mathrm{A}$, et $R{i}^2\approx 0,50\times 1,28\approx 0,64\mathrm{W}$. Les deux sont égales, et ce n'est pas une coïncidence numérique : à vitesse constante l'énergie cinétique ne varie plus, et la puissance du poids, reçue par la barre, est intégralement convertie en puissance électrique puis dissipée. Littéralement, $mgv\sin \alpha =\frac{B^2{\ell }^2{\cos }^2\alpha }{R}{v}^2$ est exactement la condition de vitesse limite multipliée par $v$.

5) Rails verticaux. Pour $\alpha \to 90^{\circ }$, $\cos \alpha \to 0$ : le champ vertical est alors contenu dans le plan du circuit, le flux est nul quelle que soit la position de la barre, il n'y a ni f.é.m. ni courant, et la barre tombe en chute libre. La formule le dit : $v_{\lim }\to \infty$ et $\tau \to \infty$. C'est la meilleure vérification de signe et de géométrie : l'induction n'existe que si le mouvement fait varier le flux.

Ce que l'exercice installe. Le flux ne prend que la composante normale du champ, la force ne travaille que par sa composante le long du mouvement : deux projections distinctes, qui se multiplient. Et le bilan de régime permanent — puissance motrice égale puissance Joule — est le contrôle le plus rapide d'un calcul de vitesse limite.