L'analogie électromécanique : simuler une suspension

1) Les deux dictionnaires. La loi des mailles du RLC série en régime libre, avec $i=\dot{q}$ et $u_C=q/C$, s'écrit $L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=0$. La comparaison terme à terme avec $m\ddot{x}+h\dot{x}+kx=0$ donne

$$q\leftrightarrow x,i=\dot{q}\leftrightarrow v=\dot{x},L\leftrightarrow m,R\leftrightarrow h,\frac{1}{C}\leftrightarrow k.$$

Le dictionnaire se prolonge aux énergies : $\frac{1}{2}L{i}^2\leftrightarrow \frac{1}{2}m{v}^2$ (l'énergie magnétique est l'analogue de l'énergie cinétique : la bobine est l'inertie du circuit), $\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}\leftrightarrow \frac{1}{2}k{x}^2$ (le condensateur est le ressort), et $R{i}^2\leftrightarrow h{v}^2$ (la résistance est le frottement). Le bilan $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2\right)=-h{v}^2$ est la traduction exacte du bilan d'énergie du RLC série, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}\right)=-R{i}^2$. Par suite, ${\omega }_0=\sqrt{k/m}\leftrightarrow 1/\sqrt{LC}$ et $Q=\frac{\sqrt{km}}{h}\leftrightarrow \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

2) La suspension. ${\omega }_0=\sqrt{3,0\times 10^4/300}=10\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $f_0=1,6\mathrm{Hz}$ : c'est l'ordre de grandeur du rebond d'une voiture qu'on appuie puis relâche. Le régime critique correspond à $Q=\frac{1}{2}$, soit $h_c=2\sqrt{km}=2\sqrt{3,0\times 10^4\times 300}=6,0\times 10^3\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$. On transpose ainsi, sans le refaire, un résultat du cours ($R_c=2\sqrt{L/C}$).

3) Le simulateur. $L=\frac{1}{{\omega }_0^{\prime 2}C}=\frac{1}{10^8\times 10^{-5}}=1,0\mathrm{mH}$, et $R_c=2\sqrt{\frac{L}{C}}=2\sqrt{\frac{10^{-3}}{10^{-5}}}=20\Omega$. Des composants ordinaires : le simulateur reproduit en une milliseconde ce que la voiture fait en une seconde, et l'on change l'amortisseur en tournant un potentiomètre. C'est l'idée de la simulation analogique.

4) Le réglage. $Q=\frac{\sqrt{km}}{h}=\frac{3,0\times 10^3}{4,2\times 10^3}\approx 0,71$. Dans le simulateur, le même $Q$ s'obtient avec $R=\frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{10}{0,71}\approx 14\Omega$ (ou, par proportionnalité, $R=R_{c}h/h_c=20\times 0,70=14\Omega$). L'analyse du temps de réponse a montré que $Q\approx 0,7$ donne le retour le plus rapide à 5 % près, au prix d'un dépassement de quelques pour cent : la caisse revient vite à l'équilibre sans rebondir de façon perceptible.

Ce que l'exercice installe. L'analogie n'est pas une ressemblance mais une identité d'équations, et elle s'étend aux énergies : tout résultat établi pour l'un des oscillateurs se transpose à l'autre par le dictionnaire, sans nouvelle démonstration. Changer d'échelle de temps ne change pas $Q$ : c'est lui, et lui seul, qui fixe la forme de la réponse.