Mettre sous forme canonique : série, parallèle, bobine réelle

La méthode. On établit l'équation par les lois de Kirchhoff, on la divise pour que le coefficient de la dérivée seconde vaille $1$, puis on identifie : le coefficient de $u$ est ${\omega }_0^2$, celui de $\dot{u}$ est ${\omega }_0/Q$. On ne retient pas de formule de $Q$ par cœur pour chaque montage ; on retient la méthode.

1) Le RLC série. La loi des mailles en régime libre, $Ri+L\dot{i}+u_C=0$ avec $i=C{\dot{u}}_C$, donne $LC{\ddot{u}}_C+RC{\dot{u}}_C+u_C=0$, soit $${\ddot{u}}_C+\frac{R}{L}{\dot{u}}_C+\frac{1}{LC}{u}_C=0.$$ Identification : ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{R}{L}$, d'où $Q=\frac{L{\omega }_0}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$. Comme $L{\omega }_0=\frac{L}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{C{\omega }_0}$, on a aussi $Q=\frac{1}{RC{\omega }_0}$. Numériquement, ${\omega }_0=1/\sqrt{10^{-2}\times 10^{-6}}=1,0\times 10^4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $Q=\frac{100}{20}=5$.

2) Le RLC parallèle. La loi des nœuds, avec les trois courants comptés sortant du nœud supérieur vers les dipôles, s'écrit $C\dot{u}+\frac{u}{R}+i_L=0$, avec $u=L{\dot{i}}_L$. On dérive une fois et l'on remplace ${\dot{i}}_L=u/L$ : $$C\ddot{u}+\frac{1}{R}\dot{u}+\frac{u}{L}=0,\text{soit}\ddot{u}+\frac{1}{RC}\dot{u}+\frac{1}{LC}u=0.$$ Même ${\omega }_0$ ; mais $\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{1}{RC}$, donc $Q=RC{\omega }_0=R\sqrt{\frac{C}{L}}$. Avec les mêmes composants, $Q=20\times \sqrt{10^{-6}/10^{-2}}=0,2$ : régime apériodique, là où le montage série donnait un régime pseudo-périodique avec $Q=5$.

L'explication. En série, la résistance est traversée par le courant d'oscillation : elle dissipe d'autant moins qu'elle est petite ($R\to 0$ redonne le LC). En parallèle, elle est soumise à la tension d'oscillation : elle dissipe d'autant moins qu'elle est grande ($R\to \infty$ redonne le LC, $R\to 0$ court-circuite l'oscillateur). Le facteur de qualité est proportionnel à $1/R$ dans un cas, à $R$ dans l'autre ; vérifier ce sens de variation est le premier contrôle à faire sur une expression de $Q$.

3) La bobine réelle sur un condensateur. La bobine réelle ($L$ et $r$ en série) et le condensateur forment une seule maille : c'est un RLC série, même s'il « ressemble » à un montage parallèle (deux dipôles entre deux nœuds). Son facteur de qualité est $Q_s=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{L}{C}}=5$. La topologie se lit sur le chemin du courant.

4) Deux pertes à la fois. Notons $u$ la tension commune, $i$ le courant dans la bobine réelle (sortant du nœud supérieur). La loi des nœuds et la loi des mailles dans la branche de la bobine donnent $$C\dot{u}+\frac{u}{R_p}+i=0,u=L\dot{i}+ri.$$ On tire $i=-C\dot{u}-u/R_p$ de la première, et on reporte dans la seconde : $$LC\ddot{u}+\left(\frac{L}{R_p}+rC\right)\dot{u}+\left(1+\frac{r}{R_p}\right)u=0.$$ Comme $r/R_p=2\times 10^{-3}$, on a ${\omega }_0^2\approx \frac{1}{LC}$ (à $0,1\%$ près sur ${\omega }_0$), et $$\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{1}{R_{p}C}+\frac{r}{L}⟹\frac{1}{Q}=\frac{1}{R_{p}C{\omega }_0}+\frac{r}{L{\omega }_0}=\frac{1}{Q_p}+\frac{1}{Q_s}.$$ Avec $Q_s=5$ et $Q_p=R_p\sqrt{C/L}=10^4\times 10^{-2}=100$ : $\frac{1}{Q}=0,20+0,01=0,21$, d'où $Q\approx 4,76$ (le calcul sans approximation donne $4,77$). Les inverses des facteurs de qualité s'additionnent : chaque cause de perte ajoute sa contribution à l'amortissement, et la plus forte perte (le plus petit $Q$) domine.

Ce que l'exercice installe. La forme canonique se construit, elle ne se récite pas : on divise, on identifie. Le sens de variation de $Q$ avec $R$ se contrôle physiquement (série : petite $R$ ; parallèle : grande $R$). Et la règle « $1/Q$ additifs » servira à chaque fois qu'un oscillateur réel cumule plusieurs pertes : résistance de la bobine, fuite du condensateur, appareil de mesure.