Problème — Le décrément logarithmique

1) Le décrément est une constante. Comme $\Omega (t+T)=\Omega t+2\pi$, le cosinus reprend la même valeur une pseudo-période plus tard, et $$\frac{s(t)}{s(t+T)}=\frac{A{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\cos (\Omega t+\phi )}{A{\mathrm{e}}^{-(t+T)/\tau }\cos (\Omega t+\phi )}={\mathrm{e}}^{T/\tau }.$$ Le rapport ne dépend pas de $t$ (pour les instants où $s(t)\ne 0$, en particulier aux maxima) : $\delta =T/\tau$. On remplace : $\delta =\frac{2\pi }{\Omega }\cdot \frac{{\omega }_0}{2Q}=\frac{\pi }{Q\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$, et comme $Q\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4Q^2-1}$, $$\delta =\frac{2\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}.$$ Pour $Q\gg 1$, $\sqrt{4Q^2-1}\approx 2Q$ et $\delta \approx \pi /Q$. Homogénéité : $\delta$ est un logarithme de rapport de tensions, sans dimension, comme $Q$.

2) L'inversion et le premier calcul. $\sqrt{4Q^2-1}=2\pi /\delta$ donne $$Q=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{2\pi }{\delta }\right)}^2}.$$ Une amplitude divisée par 2 en 3 pseudo-périodes donne $3\delta =\ln 2$, soit $\delta =\ln 2/3\approx 0,231$. Alors $Q\approx 13,61$ par la formule exacte, et $\pi /\delta \approx 13,60$ par l'approximation. L'erreur relative se calcule en écrivant $Q=\frac{\pi }{\delta }\sqrt{1+{\left(\frac{\delta }{2\pi }\right)}^2}\approx \frac{\pi }{\delta }\left(1+\frac{{\delta }^2}{8{\pi }^2}\right)$ : elle vaut $\frac{{\delta }^2}{8{\pi }^2}\approx \frac{1}{8Q^2}$, soit $7\times 10^{-4}$ ici. L'approximation est excellente dès que $Q$ dépasse quelques unités.

3) Le nombre d'oscillations visibles. Au bout de $n$ pseudo-périodes, l'amplitude est multipliée par ${\mathrm{e}}^{-n\delta }$. Elle est divisée par ${\mathrm{e}}^{\pi }\approx 23$, ce qui la rend difficile à distinguer à l'écran, quand $n\delta =\pi$, soit $n=\pi /\delta \approx Q$. Le facteur de qualité compte les oscillations visibles : c'est une estimation, mais elle donne $Q$ d'un coup d'œil, à un facteur 2 près. Pour $Q=13,6$, on voit une douzaine d'oscillations.

4) La mesure.

Pourquoi un régime libre. Sur un palier, le GBF est équivalent à une source de tension constante $E_0$ en série avec $R_g$. Le circuit est alors un RLC série de résistance totale $R_{\text{tot}}=R_g+R+r$ soumis à un échelon ; l'écart $s=u_C-E_0$ vérifie l'équation homogène (l'exercice 5 l'a montré : la solution est $E_0$ plus une solution du régime libre). La résistance de sortie du GBF fait partie de l'oscillateur : elle n'est pas négligeable devant les dix ohms de $R$.

Le décrément. Sur deux pseudo-périodes, $2\delta =\ln \frac{4,00}{0,95}$, d'où $\delta =\frac{1}{2}\ln (4,21)\approx 0,719$, et $$Q=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{2\pi }{0,719}\right)}^2}\approx 4,40.$$ (L'approximation $\pi /\delta$ donnerait $4,37$ : l'écart relatif $1/(8Q^2)\approx 0,6\%$ n'est plus tout à fait négligeable.)

La résistance totale. $\sqrt{L/C}=\sqrt{10^{-2}/10^{-7}}\approx 316\Omega$, et $Q=\frac{1}{R_{\text{tot}}}\sqrt{\frac{L}{C}}$ donne $R_{\text{tot}}=\frac{316}{4,40}\approx 71,9\Omega$. Donc $r=R_{\text{tot}}-R_g-R\approx 71,9-50-10\approx 12\Omega$. Une mesure de temps et d'amplitudes révèle une résistance qu'on ne voyait pas : celle du fil de la bobine.

La pseudo-période. $T_0=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{10^{-9}}\approx 0,1987\mathrm{ms}$, et $T=\frac{T_0}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\approx T_0\left(1+\frac{1}{8Q^2}\right)\approx 1,0065T_0\approx 0,2000\mathrm{ms}$. L'écart est de $0,65\%$, au second ordre en $1/Q$ : même pour $Q=4,4$, la pseudo-période est très proche de la période propre. C'est l'amplitude, pas la période, qui porte l'information sur l'amortissement.

5) L'incertitude. Les valeurs extrêmes du rapport sont obtenues en écartant les deux lectures en sens contraires : $\frac{4,05}{0,90}$ donne $\delta =0,752$ et $Q\approx 4,21$ ; $\frac{3,95}{1,00}$ donne $\delta =0,687$ et $Q\approx 4,60$. D'où l'encadrement $$4,2\le Q\le 4,6.$$ L'incertitude vient surtout de la petite amplitude ($0,05$ sur $0,95$, soit $5\%$). Mesurer sur $n$ pseudo-périodes répartit l'erreur : $\delta =\frac{1}{n}\ln \frac{s_0}{s_n}$, et l'incertitude sur le logarithme est divisée par $n$, tant que $s_n$ reste bien lisible. Il y a un optimum : assez de périodes pour diviser l'erreur, pas trop pour que la dernière amplitude reste lisible.

6) Cas limites, et le résultat. Quand $Q\to \infty$, $\delta \to 0$ : on retrouve le circuit LC, dont l'amplitude ne décroît pas ; le décrément devient trop petit pour être lu sur deux maxima voisins, et il faut le mesurer sur un grand nombre de périodes. Quand $Q\to {\frac{1}{2}}^{+}$, $\sqrt{4Q^2-1}\to 0$, $\delta \to \infty$ et $T\to \infty$ : la pseudo-période diverge, il n'y a plus qu'un seul dépassement, et le décrément perd son sens ; on mesure alors $Q$ par le dépassement relatif $D$ de la réponse à un échelon, qui vaut d'ailleurs exactement ${\mathrm{e}}^{-\delta /2}$ (le dépassement survient une demi-pseudo-période après le départ). Dans tous les cas, $\delta$ et $Q$ sont sans dimension et la relation entre eux ne dépend d'aucun composant.

Le résultat obtenu — le décrément logarithmique. Pour un oscillateur amorti en régime pseudo-périodique, le rapport de deux maxima successifs de l'écart à l'équilibre est constant ; son logarithme, le décrément logarithmique, vaut $\delta =\frac{2\pi }{\sqrt{4Q^2-1}}\approx \frac{\pi }{Q}$, de sorte que $Q=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{2\pi }{\delta }\right)}^2}$ se mesure sur un oscillogramme par un simple rapport d'amplitudes, sans connaître $R$, $L$ ni $C$ ; et l'amplitude est divisée par ${\mathrm{e}}^{\pi }$ au bout d'environ $Q$ pseudo-périodes.

Ce que le problème installe. Une mesure physique bien construite lit un rapport, qui ne dépend ni du calibrage de l'appareil ni de l'amplitude initiale. Elle se confronte au modèle : le $Q$ mesuré, plus faible que ne le prévoient les composants affichés, révèle les résistances cachées (sortie du générateur, fil de la bobine). Et elle s'accompagne d'une incertitude, qu'on réduit en mesurant sur plusieurs périodes.