Deux barres sur les mêmes rails

Deux barres identiques, de masse $m = 50 g$ et de résistance $R = 0, 50 Ω$ chacune, glissent sans frottement sur deux rails horizontaux de résistance négligeable, distants de $ℓ = 0, 30 m$ , dans un champ vertical uniforme et stationnaire $B = 0, 40 T$ . À $t = 0$ , la barre 1 est lancée à $v_{0} = 2, 0 m s^{- 1}$ ; la barre 2 est immobile, derrière elle.

Orienter le circuit formé par les rails et les deux barres. Montrer que la f.é.m. ne dépend que de la vitesse relative $u = v_{1} - v_{2}$ et exprimer le courant.

Montrer que les forces de Laplace sur les deux barres sont opposées. Qu'en déduit-on pour la quantité de mouvement totale ?

Établir l'équation de $u (t)$ et la constante de temps.

Vitesses finales et énergie dissipée. Applications numériques.

Analogie mécanique.

1) Le circuit. La barre 1 est à l'abscisse $x_{1}$ , la barre 2 à $x_{2} < x_{1}$ . Le circuit est le rectangle compris entre les deux barres, d'aire $ℓ (x_{1} - x_{2})$ ; on l'oriente de normale $+ u_{z}$ . Dans la barre 1 (côté des $x$ croissants) le courant positif va selon $+ u_{y}$ , dans la barre 2 selon $- u_{y}$ . Alors

$Φ = B ℓ (x_{1} - x_{2}), e = - B ℓ (v_{1} - v_{2}) = - B ℓ u, i = \frac{e}{2 R} = - \frac{B ℓ u}{2 R} .$

Si les deux barres avancent à la même vitesse, l'aire ne change pas : pas de f.é.m. Seul compte le mouvement relatif.

2) Les forces. Sur la barre 1, $F_{1} = i ℓ u_{y} \land B u_{z} = i ℓ B u_{x}$ ; sur la barre 2, parcourue en sens inverse, $F_{2} = - i ℓ B u_{x}$ . Les deux forces sont opposées : $F_{1} + F_{2} = 0$ . Les autres forces (poids, réactions) sont verticales ; la résultante horizontale des forces extérieures au système des deux barres est nulle, donc sa quantité de mouvement horizontale se conserve :

$m v_{1} + m v_{2} = m v_{0} .$

3) L'équation de $u$ . $m v ˙_{1} = i ℓ B$ et $m v ˙_{2} = - i ℓ B$ , donc

$m u ˙ = 2 i ℓ B = - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} u, τ = \frac{m R}{B ^{2} ℓ ^{2}} = \frac{0 , 050 \times 0 , 50}{0 , 0144} \approx 1, 7 s .$

(Le facteur $2$ de la double force compense le facteur $2$ de la résistance totale $2 R$ .) D'où $u (t) = v_{0} e^{- t / τ}$ .

4) État final. $u \to 0$ et $v_{1} + v_{2} = v_{0}$ : les deux barres finissent à la même vitesse $v_{0} /2 = 1, 0 m s^{- 1}$ . Énergie cinétique initiale $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 0, 10 J$ ; finale $2 \times \frac{1}{2} m (\frac{v _{0}}{2})^{2} = \frac{1}{4} m v_{0}^{2} = 0, 05 J$ . La chaleur dégagée dans les deux barres vaut $\frac{1}{4} m v_{0}^{2} = 50 mJ$ : la moitié de l'énergie initiale, quels que soient $R$ et $B$ . L'écart entre les barres augmente, au total, de $\int_{0}^{\infty} u d t = v_{0} τ \approx 3, 5 m$ : il faut des rails longs pour observer la fin du transitoire.

5) L'analogie. C'est exactement un choc mou entre deux masses égales : conservation de la quantité de mouvement, vitesse commune finale, moitié de l'énergie cinétique perdue. L'induction fournit l'« interaction interne » dissipative ; elle ne peut pas changer la quantité de mouvement totale, puisque les forces internes de Laplace sont opposées.

Ce que l'exercice installe. Avant de résoudre, chercher ce qui se conserve : ici la quantité de mouvement, parce que les deux forces de Laplace sont opposées. Et la remarque que la f.é.m. ne dépend que du mouvement relatif : c'est la variation de l'aire du circuit, pas le mouvement des barres en lui-même, qui crée le courant.

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