Problème : l'alternateur à cadre tournant

Le schéma, en mots. L'axe est vertical, le champ horizontal ; le cadre tourne à vitesse constante, sa normale $\overrightarrow{n}$ faisant l'angle $\theta =\omega t$ avec $\overrightarrow{B}$. Le sens positif du courant dans le cadre est lié à $\overrightarrow{n}$ par la règle de la main droite ; dans le circuit extérieur, la charge est parcourue par ce même courant $i$. La f.é.m. $e$ est orientée dans le sens positif (convention générateur pour le cadre).

1) Flux et f.é.m. Chacune des $N$ spires embrasse le flux $BS\cos \theta$ : $$\Phi =NBS\cos (\omega t),e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=NBS\omega \sin (\omega t).$$ La f.é.m. est sinusoïdale, d'amplitude $E_m=NBS\omega$ et de fréquence égale à la fréquence de rotation : un tour du cadre, une période. Elle est maximale quand le flux s'annule (cadre parallèle au champ), là où il varie le plus vite. Pour la bobine de centrale : $$E_m=500\times 0,8\times 0,04\times 2\pi \times 50\approx 5,0\times 10^3\mathrm{V}.$$ Quelques kilovolts par bobine : c'est bien l'ordre de grandeur des tensions de sortie des alternateurs de centrale (la dizaine de kilovolts, en associant des bobines), relevées ensuite par des transformateurs.

2) Le courant. L'inductance propre du cadre ajoute sa f.é.m. d'auto-induction ; la loi des mailles s'écrit $$e=Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.$$ En régime sinusoïdal établi, en notation complexe ($e\to \underline{E}=E_m$ en prenant $e$ comme référence de phase), $\underline{I}=\frac{\underline{E}}{R+jL\omega }$, d'où $$I_m=\frac{NBS\omega }{\sqrt{R^2+L^2{\omega }^2}},\phi =\arctan \frac{L\omega }{R},$$ le courant $i=I_m\sin (\omega t-\phi )$ étant en retard de $\phi$ sur la f.é.m.

3) Le couple et la relation de couplage. Le moment magnétique du cadre est $\overrightarrow{m}=NiS\overrightarrow{n}$ ; le couple de Laplace exercé par le champ extérieur est $\overrightarrow{\Gamma }=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$, de composante sur l'axe $$\Gamma =-NBSi\sin (\omega t).$$ (Le champ propre du cadre n'exerce pas de couple sur le cadre lui-même : son effet est entièrement contenu dans le terme $L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$.) Alors, à chaque instant, $$\Gamma \omega +ei=-NBSi\omega \sin (\omega t)+NBS\omega \sin (\omega t)i=0.$$ La puissance des actions de Laplace est l'opposée de la puissance électromotrice : le couplage convertit sans rien créer ni perdre. Comme $\omega$ est constante, le théorème du moment cinétique donne $J\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=0={\Gamma }_{\mathrm{op}}+\Gamma$ : l'opérateur exerce ${\Gamma }_{\mathrm{op}}=-\Gamma$, et sa puissance est ${\Gamma }_{\mathrm{op}}\omega =ei$. Le couple de Laplace instantané $-NBS{I}_m\sin (\omega t)\sin (\omega t-\phi )$ a pour moyenne $$⟨\Gamma ⟩=-\frac{1}{2}NBS{I}_m\cos \phi <0(\cos \phi >0),$$ il est résistant en moyenne. C'est la loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la cause qui le produit, la rotation. Il faut « forcer » pour faire tourner un alternateur qui débite — c'est l'effort qu'on ressent sur une manivelle de lampe à dynamo — et ce couple disparaît si le circuit est ouvert.

4) La puissance moyenne. La puissance de l'opérateur est $ei$. On multiplie la loi des mailles par $i$ : $$ei=R{i}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right).$$ En moyenne sur une période, la dérivée d'une grandeur périodique a une moyenne nulle (l'énergie magnétique revient à la même valeur), et $⟨i^2⟩=I_m^2/2$ : $$\bar{P}=⟨ei⟩=\frac{1}{2}R{I}_m^2.$$ La puissance mécanique moyenne fournie par l'opérateur est égale à la puissance Joule moyenne : tout ce qui est fourni par l'arbre est reçu par le circuit. Le couple moyen que doit fournir l'opérateur est ${\bar{\Gamma }}_{\mathrm{op}}=-⟨\Gamma ⟩=\bar{P}/\omega$. (On vérifie la cohérence : $\frac{1}{2}NBS{I}_m\cos \phi =\frac{1}{2}\frac{I_{m}Z}{\omega }{I}_m\frac{R}{Z}=\frac{R{I}_m^2}{2\omega }$ avec $Z=\sqrt{R^2+L^2{\omega }^2}$.)

5) Application. $\omega =2\pi \times 50\approx 314\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; $E_m=100\times 0,10\times 0,010\times 314\approx 31,4\mathrm{V}$ ; $L\omega =0,020\times 314\approx 6,28\Omega$, $Z=\sqrt{25+39,5}\approx 8,03\Omega$ ; $$I_m=\frac{31,4}{8,03}\approx 3,91\mathrm{A},\phi =\arctan \frac{6,28}{5,0}\approx 51,5^{\circ },$$ $$\bar{P}=\frac{1}{2}\times 5,0\times 3,91^2\approx 38,3\mathrm{W},{\bar{\Gamma }}_{\mathrm{op}}=\frac{38,3}{314}\approx 0,122\mathrm{N}\mathrm{m}.$$ Un couple d'un dixième de newton-mètre : ce qu'on exerce du bout des doigts sur une manivelle de dix centimètres avec une force d'un newton. Le couple instantané, lui, oscille à la fréquence $2f$ autour de cette moyenne.

6) Cas limites et fréquence du réseau. On écrit $$\bar{P}(\omega )=\frac{R}{2}\frac{(NBS{)}^2{\omega }^2}{R^2+L^2{\omega }^2}.$$

• Pour $\omega \ll R/L$ : $\bar{P}\simeq \frac{(NBS\omega {)}^2}{2R}\propto {\omega }^2$. L'inductance ne joue aucun rôle ; la f.é.m. et le courant sont proportionnels à $\omega$, la puissance à son carré.
• Pour $\omega \gg R/L$ : $I_m\to \frac{NBS}{L}=\frac{100\times 0,10\times 0,010}{0,020}=5,0\mathrm{A}$ et $$\bar{P}\to \frac{R(NBS{)}^2}{2L^2}=\frac{5,0\times (0,10{)}^2}{2\times (0,020{)}^2}=62,5\mathrm{W}.$$ La puissance sature : f.é.m. et impédance croissent toutes deux comme $\omega$, et le courant devient indépendant de la vitesse. Tourner plus vite ne sert plus à rien. La pulsation de transition est $R/L=250\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; à $314\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ on est déjà à $61\%$ de la saturation ($38,3/62,5$). Homogénéité : $NBS/L$ est un flux divisé par une inductance, c'est-à-dire un courant, et $R(NBS/L{)}^2$ une puissance.

La fréquence de la f.é.m. est celle de la rotation : pour délivrer du $50\mathrm{Hz}$, un cadre doit faire $50$ tours par seconde, soit $3000$ tours par minute. C'est pourquoi la fréquence du réseau est la fréquence de rotation des alternateurs, et pourquoi tous les alternateurs connectés au réseau tournent en synchronisme ; un déséquilibre entre la production et la consommation se lit d'ailleurs sur une légère variation de la fréquence. (Les alternateurs réels font tourner l'aimant ou l'électroaimant et gardent les bobines fixes, ou utilisent plusieurs paires de pôles pour tourner moins vite, comme ceux des barrages : ces dispositifs sortent du modèle du cadre, mais la relation entre fréquence et rotation demeure.)

Le résultat établi — l'alternateur. Un cadre de $N$ spires d'aire $S$, tournant à la vitesse angulaire constante $\omega$ autour d'un axe orthogonal à un champ uniforme et stationnaire $B$, est le siège d'une f.é.m. sinusoïdale d'amplitude $E_m=NBS\omega$ et de fréquence égale à la fréquence de rotation. Le couple de Laplace et la f.é.m. vérifient à chaque instant $\Gamma \omega +ei=0$ : la conversion est parfaite, et la puissance mécanique moyenne fournie à l'arbre est égale à la puissance électrique moyenne reçue par le circuit, ici dissipée par effet Joule, $\frac{1}{2}R{I}_m^2$.

Ce que le problème installe. La méthode du cadre, complète : flux, f.é.m., équation électrique en régime sinusoïdal forcé, couple $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$, théorème du moment cinétique, bilan moyen. La relation $\Gamma \omega +ei=0$ est l'énoncé central de la conversion électromécanique : elle vaut pour le rail ($Fv+ei=0$) comme pour le cadre, en générateur comme en moteur. Et la discussion des cas limites montre comment une même formule contient deux régimes physiquement différents, l'un dominé par la résistance, l'autre par l'inductance.