Rails fermés sur une bobine : l'oscillateur électromécanique

1) Les équations. Avec les conventions communes, $e=-B\ell v$. La bobine, en convention récepteur dans le sens positif, a pour tension $L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ; sans résistance, la loi des mailles est

$$-B\ell v=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.$$

La force de Laplace donne $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=B\ell i$.

2) La conservation du flux. L'équation électrique s'écrit $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\ell x+Li\right)=0$. Or $B\ell x$ est le flux du champ extérieur à travers le circuit et $Li$ son flux propre : le flux total à travers un circuit sans résistance est constant. Avec $x(0)=0$ et $i(0)=0$, $Li=-B\ell x$ à tout instant. Un circuit sans résistance « refuse » toute variation de flux : si la barre augmente l'aire, le courant crée un flux propre qui compense exactement.

3) L'oscillation. On reporte $i=-B\ell x/L$ dans l'équation mécanique :

$$m\ddot{x}=-\frac{B^2{\ell }^2}{L}x,{\omega }_0=\frac{B\ell }{\sqrt{mL}}.$$

La barre se comporte comme une masse accrochée à un ressort de raideur $k_{\mathrm{eff}}=B^2{\ell }^2/L$ : elle oscille dans un champ qui ne varie pas. Numériquement

$${\omega }_0=\frac{1,0\times 0,10}{\sqrt{0,010\times 1,0\times 10^{-3}}}=\frac{0,10}{3,16\times 10^{-3}}\approx 31,6\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\approx 0,20\mathrm{s}.$$

Avec $x(0)=0$ et $\dot{x}(0)=v_0$ : $x(t)=\frac{v_0}{{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$, d'amplitude $x_m=v_0/{\omega }_0\approx 1,6\mathrm{cm}$. Le courant $i=-B\ell x/L$ a pour amplitude $i_m=\frac{B\ell x_m}{L}=v_0\sqrt{m/L}\approx 1,6\mathrm{A}$.

4) Bilan. On multiplie l'équation électrique par $i$, l'équation mécanique par $v$, et l'on ajoute : $Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+mv\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-B\ell vi+B\ell iv=0$, soit

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}L{i}^2\right)=0.$$

L'énergie passe sans perte de la forme cinétique à la forme magnétique et revient : $\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 0,010\times 0,25=1,25\mathrm{mJ}$, et $\frac{1}{2}L{i}_m^2=\frac{1}{2}\times 10^{-3}\times 1,58^2\approx 1,25\mathrm{mJ}$. Les deux termes de couplage se sont annulés : c'est la relation « puissance de Laplace plus puissance électromotrice égale zéro ».

5) Avec une résistance. La loi des mailles devient $L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri=-B\ell v$. On dérive l'équation mécanique et l'on remplace $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ :

$$\begin{array}{rl}m\ddot{v}& =B\ell \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\\ & =-\frac{B^2{\ell }^2}{L}v-\frac{R}{L}B\ell i\\ & =-\frac{B^2{\ell }^2}{L}v-\frac{R}{L}m\dot{v},\end{array}$$

soit $\ddot{v}+\frac{R}{L}\dot{v}+{\omega }_0^{2}v=0$ : un oscillateur amorti de facteur de qualité $Q=\frac{L{\omega }_0}{R}$. Ici $L{\omega }_0\approx 0,032\Omega$ : pour $Q>1/2$ (régime pseudo-périodique) il faut $R<63\mathrm{m\Omega }$, et pour une dizaine d'oscillations visibles quelques milliohms seulement — un circuit très épais ou supraconducteur. Avec un circuit ordinaire, la barre est simplement freinée.

Cas limite $L\to 0$. Alors $Q\to 0$, régime très apériodique. Les racines de $s^2+\frac{R}{L}s+{\omega }_0^2=0$ sont l'une très rapide ($\approx -R/L$), l'autre lente, $s\approx -{\omega }_0^{2}L/R=-\frac{B^2{\ell }^2}{mR}$ : on retrouve exactement la constante de temps $mR/(B^2{\ell }^2)$ d'une barre lancée sur des rails fermés sur une simple résistance. Le modèle avec bobine contient le modèle sans bobine.

Ce que l'exercice installe. L'idée que le couplage électromécanique transporte les propriétés d'un domaine dans l'autre : une inductance devient un ressort ($k_{\mathrm{eff}}=B^2{\ell }^2/L$), une résistance devient un frottement fluide, et la barre forme avec la bobine un oscillateur au sens plein, avec ${\omega }_0$ et $Q$. Et la conservation du flux total dans un circuit sans résistance, qui reviendra pour les supraconducteurs.