L'échelle mésoscopique, du cuivre au vent solaire ; la neutralité « quasi exacte »

La stratégie. On traduit les deux exigences en inégalités : la statistique fixe un nombre minimal de porteurs, donc un côté minimal $\ell =(N/n{)}^{1/3}$, qui dépend du milieu ; la physique étudiée fixe l'échelle $L$ ; la description continue est légitime si $\ell \ll L$. Puis un ordre de grandeur coulombien dit à quelle précision la matière est neutre.

1) Le nombre de porteurs. Une précision de $10^{-3}$ exige $1/\sqrt{N}\le 10^{-3}$, soit $N\ge 10^6$. Un cube de côté $\ell$ contient en moyenne $N=n{\ell }^3$ porteurs, d'où $$\ell ={\left(\frac{N}{n}\right)}^{1/3}={\left(\frac{10^6}{n}\right)}^{1/3}.$$ Le volume mésoscopique n'a donc pas de taille universelle : il est d'autant plus grand que le milieu est dilué.

2) Quatre milieux. Cuivre : $\ell ={\left(10^6/8,5\times 10^{28}\right)}^{1/3}={\left(1,18\times 10^{-23}\right)}^{1/3}\mathrm{m}\approx 2,3\times 10^{-8}\mathrm{m}=23\mathrm{nm}$, une centaine de distances interatomiques. Air : la loi des gaz parfaits donne $n=\frac{p}{k_{B}T}=\frac{10^5}{1,38\times 10^{-23}\times 293}\approx 2,47\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $\ell \approx 3,4\times 10^{-7}\mathrm{m}=0,34\mu \mathrm{m}$. Ionosphère : $\ell ={\left(10^6/10^{12}\right)}^{1/3}=10^{-2}\mathrm{m}=1\mathrm{cm}$. Vent solaire : $n=5\times 10^6{\mathrm{m}}^{-3}$, $\ell =(0,2{)}^{1/3}\mathrm{m}\approx 0,6\mathrm{m}$.

3) Légitimité de la description continue. Cuivre : $\ell /L=23\mathrm{nm}/500\mathrm{nm}\approx 0,05$ ; la description continue tient même pour la lumière, et a fortiori pour les champs statiques, qui varient sur le millimètre. Ionosphère : $\ell /L=10^{-2}/10=10^{-3}$, légitime. Vent solaire : $\ell /L\approx 0,6/10^6$, très légitime : un plasma extraordinairement dilué est un milieu continu à l'échelle de ses champs, parce que ceux-ci varient sur des distances immenses. Air éclairé : $\ell =0,34\mu \mathrm{m}$ n'est pas petit devant $0,5\mu \mathrm{m}$. Il faut alors accepter une moyenne moins précise : avec $N=10^3$ (fluctuation de $3\%$), $\ell ={\left(10^3/2,47\times 10^{25}\right)}^{1/3}\approx 34\mathrm{nm}\ll 0,5\mu \mathrm{m}$. Le choix de $N$ est un compromis imposé par $L$.

4) La neutralité, chiffrée. Masse d'une bille : $m_b=\mu V=8,96\times 10^3\times 10^{-6}=8,96\times 10^{-3}\mathrm{kg}$, poids $m_{b}g=8,79\times 10^{-2}\mathrm{N}$. L'égalité $\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}=m_{b}g$ donne $$Q=d\sqrt{4\pi {\epsilon }_0{m}_{b}g}=1\times \sqrt{\frac{8,79\times 10^{-2}}{8,99\times 10^9}}\approx 3,1\times 10^{-6}\mathrm{C}.$$ (Homogénéité : $\sqrt{\mathrm{N}/(\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2})}\times \mathrm{m}=\mathrm{C}$.) Trois microcoulombs : une charge modeste. La charge des électrons libres d'une bille vaut $neV=8,5\times 10^{28}\times 1,60\times 10^{-19}\times 10^{-6}\approx 1,36\times 10^4\mathrm{C}$, compensée par celle des ions. Le déséquilibre relatif nécessaire est donc $$\delta =\frac{Q}{neV}=\frac{3,1\times 10^{-6}}{1,36\times 10^4}\approx 2,3\times 10^{-10}.$$ Retirer deux électrons sur dix milliards suffit pour que la force électrique entre deux billes distantes d'un mètre égale leur poids. « $\rho \simeq 0$ » dans un métal veut donc dire : neutre à mieux que $10^{-10}$ près. C'est pourquoi un métal parcouru par un courant reste neutre ($\rho =0$) alors que $\overrightarrow{j}\ne \overrightarrow{0}$ : la neutralité n'est pas l'absence de charges, c'est leur compensation, à une précision extrême.

Ce que l'exercice installe. Le volume mésoscopique se choisit : sa taille minimale vient de la statistique ($N\gtrsim 10^6$, côté $(N/n{)}^{1/3}$), sa taille maximale de la physique étudiée ($\ell \ll L$) ; il n'existe que si la fenêtre entre les deux est ouverte. Et un réflexe d'ordre de grandeur : la neutralité de la matière tient à $10^{-10}$ près, parce qu'un déséquilibre infime produit déjà des forces macroscopiques.