Problème : la prise de terre, résistance de terre, loi de Joule retrouvée par la puissance volumique, tension de pas

La stratégie. Tout découle de la chaîne du cours, déroulée dans une géométrie qui n'a rien d'un fil : conservation de la charge en régime stationnaire, donc $j(r)$ ; loi d'Ohm locale, donc $E(r)$ ; circulation du champ, donc $V(r)$ et $R$ ; puissance volumique $p=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}$ intégrée sur le sol, donc la puissance totale, que l'on compare à $R{I}^2$. La tension de pas n'est qu'une différence de potentiel entre deux points du sol.

1) Conservation. Considérons le volume de sol compris entre les demi-sphères de rayons $r_1$ et $r_2$ ($a<r_1<r_2$), fermé en haut par la surface du sol. En régime stationnaire, la charge qu'il contient est constante, donc le flux sortant de $\overrightarrow{j}$ à travers sa frontière est nul. Sur la partie plane, à la surface du sol, $\overrightarrow{j}$ radial est tangent au sol : flux nul. Il reste $-I(r_1)+I(r_2)=0$ : la même intensité traverse toutes les demi-sphères, et c'est $I$, celle que reçoit l'électrode. L'aire d'une demi-sphère vaut $2\pi r^2$ : $$I=2\pi r^{2}j(r)⟹j(r)=\frac{I}{2\pi r^2}.$$ L'équation locale de l'exercice 4 est satisfaite : $r^{2}j=I/(2\pi )$ ne dépend pas de $r$, donc $\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^{2}j)}{\partial r}=0=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$. Enfin, à la surface du sol, la composante normale de $\overrightarrow{j}$ est nulle : aucun courant ne passe dans l'air, ce qu'exige un air isolant ; la solution radiale est compatible avec cette condition, et c'est ce qui rend l'hémisphère si commode.

2) Champ, potentiel, résistance. La loi d'Ohm locale donne $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{j}/\gamma$ : $$E(r)=\frac{I}{2\pi \gamma r^2}.$$ Le potentiel s'obtient par circulation du champ le long d'un rayon, de $r$ à l'infini : $$V(r)-V(\infty )={\int }_r^{\infty }E(r^{\prime })\mathrm{d}{r}^{\prime }=\frac{I}{2\pi \gamma }{\left[-\frac{1}{r^{\prime }}\right]}_r^{\infty }=\frac{I}{2\pi \gamma r},$$ donc $V(r)=\frac{I}{2\pi \gamma r}$. L'électrode, métallique, est équipotentielle au potentiel $V(a)$ ; la résistance entre l'électrode et la terre lointaine vaut $$R=\frac{V(a)}{I}=\frac{1}{2\pi \gamma a}=\frac{1}{2\pi \times 10^{-2}\times 0,50}\approx 32\mathrm{\Omega }.$$ C'est l'ordre de grandeur attendu pour une installation domestique. Homogénéité : $\gamma a$ s'exprime en siemens, son inverse en ohms. $R$ diminue si l'électrode est plus grande ou le sol plus conducteur.

3) La résistance est locale. La couche comprise entre $a$ et $r$ a pour résistance $$R_{[a,r]}=\frac{V(a)-V(r)}{I}=\frac{1}{2\pi \gamma }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\right)=R\left(1-\frac{a}{r}\right).$$ Elle représente la fraction $1-a/r$ de $R$ : la moitié dans la couche $[a,2a]$, et $90\%$ dans $r<10a=5\mathrm{m}$. Quand $r\to \infty$, on retrouve $R$ : l'intégrale converge, la terre lointaine ne coûte rien. La résistance de terre est localisée au voisinage de l'électrode : le sol lointain n'y contribue presque pas (l'électrode lointaine a sa propre résistance, localisée autour d'elle) ; améliorer le sol au contact de l'électrode abaisse nettement $R$. Deux électrodes ne se comportent « en parallèle » que si elles sont distantes de plusieurs fois leur taille : sinon, elles se partagent la même région de sol, celle qui porte l'essentiel de la résistance, et le gain est faible.

4) Bilan d'énergie. Dans le sol ohmique, $p=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=\frac{j^2}{\gamma }=\frac{I^2}{4{\pi }^2\gamma r^4}$. On intègre sur des coquilles hémisphériques de volume $2\pi r^2\mathrm{d}r$ : $$P={\int }_a^{\infty }\frac{I^2}{4{\pi }^2\gamma r^4}2\pi r^2\mathrm{d}r=\frac{I^2}{2\pi \gamma }{\int }_a^{\infty }\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{I^2}{2\pi \gamma a}=R{I}^2.$$ La loi de Joule de l'électrocinétique sort du bilan local, dans une géométrie où il n'y a ni fil ni section : la puissance cédée aux porteurs, sommée sur tout le volume, est exactement $R{I}^2$, avec la résistance définie par le potentiel. La puissance dissipée dans $[a,r]$ vaut $R{I}^2(1-a/r)$ : la moitié à moins de $2a=1\mathrm{m}$ de l'électrode. Application : les deux prises de terre sont en série sur le circuit du défaut, $I_d=\frac{230}{32+10}\approx 5,5\mathrm{A}$ ; la puissance dissipée dans le sol autour de notre électrode vaut $R{I}_d^2\approx 32\times 5,5^2\approx 9,6\times 10^2\mathrm{W}$, presque un kilowatt, dont la moitié dans le premier mètre ; la carcasse est portée à $V(a)=R{I}_d\approx 1,8\times 10^2\mathrm{V}$ par rapport à la terre lointaine, une tension dangereuse au toucher. C'est pourquoi un dispositif différentiel coupe l'alimentation dès qu'un courant s'échappe vers la terre.

5) Tension de pas. Entre deux points du sol aux distances $r$ et $r+\ell$ du point d'impact : $$U_p=V(r)-V(r+\ell )=\frac{I}{2\pi \gamma }\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+\ell }\right)=\frac{I}{2\pi \gamma }\frac{\ell }{r(r+\ell )}\simeq \frac{I\ell }{2\pi \gamma r^2}(r\gg \ell ).$$ Numériquement, $\frac{I}{2\pi \gamma }=\frac{2\times 10^4}{2\pi \times 10^{-2}}\approx 3,18\times 10^5\mathrm{V}\mathrm{m}$. À $20\mathrm{m}$ : pour la personne, $U_p=3,18\times 10^5\times \left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20,8}\right)\approx 6,1\times 10^2\mathrm{V}$ (l'approximation donne $637\mathrm{V}$) ; pour la vache, $U_p\approx 1,1\times 10^3\mathrm{V}$ ($1,19\mathrm{kV}$ approché). À $50\mathrm{m}$ : $100\mathrm{V}$ pour la personne et $185\mathrm{V}$ pour la vache. Les troupeaux cumulent un grand écart $\ell$ et un courant qui traverse le thorax, d'une patte avant à une patte arrière, alors que chez l'humain il passe d'une jambe à l'autre. La consigne « pieds joints » fait tendre $\ell$ vers zéro, donc $U_p$ vers zéro.

6) Cas limites et limites du modèle. Homogénéité : $\frac{I\ell }{\gamma r^2}$ s'exprime en $\frac{\mathrm{A}\mathrm{m}}{\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{m}}^2}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{S}}=\mathrm{V}$. Pieds joints, $\ell \to 0$ : $U_p\to 0$, la personne est sur une équipotentielle. Loin du point d'impact, $r\to \infty$ : $U_p$ décroît comme $1/r^2$, plus vite que le potentiel ($1/r$) ; de $20\mathrm{m}$ à $50\mathrm{m}$, la tension de pas est divisée par six. Électrode en piquet, sol stratifié : la loi en $1/r$ ne vaut plus près de l'électrode et $R$ change ; mais à grande distance le courant redevient radial, et la conclusion demeure : la résistance de terre est localisée dans le sol au contact de l'électrode, sur quelques fois sa taille. Aux très fortes densités de courant de la foudre, le sol peut s'ioniser : le modèle donne des ordres de grandeur.

Le résultat obtenu — la loi de Joule retrouvée par la puissance volumique. Pour un conducteur ohmique de géométrie quelconque, ici le sol autour d'une électrode hémisphérique, la puissance cédée aux porteurs, $P=\iiint \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}\tau =\iiint \frac{j^2}{\gamma }\mathrm{d}\tau$, est égale à $R{I}^2$, où $R=\frac{V(a)-V(\infty )}{I}$ est la résistance définie par la circulation du champ. Pour l'hémisphère, $j=\frac{I}{2\pi r^2}$, $R=\frac{1}{2\pi \gamma a}$, la résistance et la puissance sont localisées à moins de quelques rayons de l'électrode, et la tension de pas vaut $U_p\simeq \frac{I\ell }{2\pi \gamma r^2}$. Pour une électrode de $0,5\mathrm{m}$ dans une terre humide, $R\approx 32\mathrm{\Omega }$ ; pour un coup de foudre de $20\mathrm{kA}$, plusieurs centaines de volts entre les pieds à vingt mètres.

Ce que le problème installe. La chaîne complète du chapitre, dans l'ordre : conservation en régime stationnaire (même intensité à travers toute surface qui entoure l'électrode), loi d'Ohm locale, circulation du champ pour la tension et la résistance, puissance volumique intégrée pour l'énergie. La loi de Joule $P=R{I}^2$ n'est pas propre aux fils : elle est la somme des $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}$ sur le volume. Et une idée d'ingénieur : dans une géométrie divergente, la résistance et la dissipation se concentrent là où le courant est le plus dense.