Section variable : résistance par tranches, échauffement localisé (le fusible)

La stratégie. On découpe le conducteur en éléments où la loi $R=\frac{\text{longueur}}{\gamma \times \text{section}}$ s'applique. Deux associations sont possibles : des tranches traversées par la même intensité, dont les tensions s'ajoutent (série : on additionne les $\mathrm{d}R$) ; des couronnes soumises à la même tension, dont les intensités s'ajoutent (parallèle : on additionne les conductances). Et la puissance volumique $p=j^2/\gamma$ dit où le conducteur chauffe.

1a) Une tranche. La tranche est un cylindre de longueur $\mathrm{d}x$ et de section $\pi r(x{)}^2$, avec $r(x)=R_1+(R_2-R_1)\frac{x}{L}$ ; $\overrightarrow{j}$ y étant uniforme et axial, la méthode du cours donne $\mathrm{d}R=\frac{\mathrm{d}x}{\gamma \pi r(x{)}^2}$. En régime stationnaire, toutes les tranches sont traversées par la même intensité (exercice 5), et la tension totale est la somme des tensions des tranches ($U=\int E\mathrm{d}x$) : les tranches sont en série, $R=\int \mathrm{d}R$.

1b) Le tronc de cône. Avec $\mathrm{d}r=\frac{R_2-R_1}{L}\mathrm{d}x$ : $$R={\int }_0^L\frac{\mathrm{d}x}{\gamma \pi r(x{)}^2}=\frac{L}{\gamma \pi (R_2-R_1)}{\int }_{R_1}^{R_2}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{L}{\gamma \pi (R_2-R_1)}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=\frac{L}{\gamma \pi R_1{R}_2}.$$ Cas limite : pour $R_1=R_2$, la formule finale donne $\frac{L}{\gamma \pi R_1^2}$, la résistance du cylindre (le calcul intermédiaire divisait par $R_2-R_1$, le résultat ne le fait pas). Le tronc de cône a la résistance d'un cylindre de rayon $\sqrt{R_1{R}_2}$, moyenne géométrique et non arithmétique des rayons : l'extrémité étroite pèse davantage. Numériquement, $$R=\frac{0,10}{5,9\times 10^7\times \pi \times 10^{-3}\times 2\times 10^{-3}}\approx 2,7\times 10^{-4}\mathrm{\Omega }.$$ Si le cône s'ouvre vite, les lignes de courant divergent et $\overrightarrow{j}$ n'est plus uniforme sur une tranche : le modèle tombe.

2a) Fil et étranglement. La même intensité traverse les deux sections : $j=I/S$ dans le fil, $I/s$ dans l'étranglement, dix fois plus. Le champ $E=j/\gamma$ est dix fois plus grand ; la puissance volumique $p=j^2/\gamma$ est cent fois plus grande, et la puissance par unité de longueur $pS=\frac{I^2}{\gamma S}$ dix fois plus grande.

2b) Le court-circuit. Dans le fil : $j=\frac{160}{1,5\times 10^{-6}}\approx 1,07\times 10^8\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$, $p=\frac{j^2}{\gamma }\approx 1,93\times 10^8\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-3}$ ; avec $\mu c=8960\times 385\approx 3,45\times 10^6\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\approx 56\mathrm{K}{\mathrm{s}}^{-1}$. Dans l'étranglement : $p\approx 1,93\times 10^{10}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-3}$ et $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\approx 5,6\times 10^3\mathrm{K}{\mathrm{s}}^{-1}$. Pour gagner $1085-20=1065\mathrm{K}$, il faut $t=\frac{1065}{5,6\times 10^3}\approx 0,19\mathrm{s}$ ; pendant ce temps le fil ne gagne que $56\times 0,19\approx 11\mathrm{K}$. L'étranglement fond, le fil reste froid.

2c) La résistance ajoutée. $R_{\text{eˊtr}}=\frac{\ell }{\gamma s}=\frac{2\times 10^{-3}}{5,9\times 10^7\times 1,5\times 10^{-7}}\approx 2,3\times 10^{-4}\mathrm{\Omega }$, à comparer à $\frac{10}{5,9\times 10^7\times 1,5\times 10^{-6}}\approx 0,11\mathrm{\Omega }$ pour dix mètres de fil : l'étranglement change la résistance du circuit de $0,2\%$. Il ne change presque rien à $R$, mais tout à la localisation de la puissance : $I^2{R}_{\text{eˊtr}}\approx 5,8\mathrm{W}$ dans $0,3\mathrm{m}{\mathrm{m}}^3$. C'est le principe du fusible : un point faible calibré, où la puissance volumique, en $1/s^2$, se concentre et fond le conducteur avant que le reste du circuit ne s'échauffe.

2d) Les limites du calcul. En $0,19\mathrm{s}$, la chaleur diffuse dans le cuivre sur $\sqrt{Dt}\approx \sqrt{1,1\times 10^{-4}\times 0,19}\approx 5\mathrm{mm}$, plus que la longueur de l'étranglement : une part notable de la chaleur fuit vers le fil, et la fusion réelle est plus lente. L'hypothèse adiabatique donne un majorant de la vitesse d'échauffement, un ordre de grandeur. En fonctionnement normal ($16\mathrm{A}$), la puissance est cent fois plus faible et la conduction thermique l'évacue. Un vrai fusible est un élément calibré en alliage à bas point de fusion ; le principe physique est celui qu'on vient de chiffrer.

3) Les couronnes. La couronne comprise entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$ a pour section $2\pi r\mathrm{d}r$ et une conductivité uniforme $\gamma (r)$ ; toutes les couronnes sont soumises à la même tension $U$ entre les bases équipotentielles : elles sont en parallèle, leurs intensités s'ajoutent. $$I={\int }_0^a\gamma (r)E2\pi r\mathrm{d}r=2\pi {\gamma }_{0}E{\int }_0^a\left(r-\frac{r^2}{a}\right)\mathrm{d}r=2\pi {\gamma }_{0}E\left(\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}\right)=\frac{\pi {\gamma }_{0}E{a}^2}{3}.$$ Avec $U=EL$ : $R=\frac{U}{I}=\frac{3L}{{\gamma }_0\pi a^2}$, trois fois la résistance d'un cylindre de conductivité uniforme ${\gamma }_0$ ; la conductivité moyenne, pondérée par la surface, vaut ${\gamma }_0/3$. On additionne des conductances parce que c'est la tension qui est commune aux couronnes, alors que c'est l'intensité qui est commune aux tranches du tronc de cône. La règle : quand la section varie le long du courant, tranches en série ; quand la conductivité varie en travers du courant, couronnes en parallèle.

Ce que l'exercice installe. Calculer une résistance dans une géométrie non uniforme, c'est découper en éléments où $\overrightarrow{j}$ est uniforme, puis associer en série (même intensité) ou en parallèle (même tension) selon le sens de la variation. Et la puissance volumique $p=j^2/\gamma$ localise la dissipation : une singularité qui ne change presque rien à la résistance peut concentrer presque toute la puissance.