Dipôle : champ dans l'axe, dans le plan équatorial, et validité de l'approximation dipolaire

• Dans l'axe, $\overrightarrow{E}=\frac{2p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\overrightarrow{u}}_r$, colinéaire à $\overrightarrow{p}$ et de même sens. Dans le plan équatorial, $\overrightarrow{E}=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, opposé à $\overrightarrow{p}$. À même distance, le champ axial est deux fois plus intense.
• Sur l'axe, $+q$ est à $r-d/2$ et $-q$ à $r+d/2$ :

$$E_{\text{exact}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{(r-d/2{)}^2}-\frac{1}{(r+d/2{)}^2}\right]=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2rd}{{\left(r^2-d^2/4\right)}^2},$$

donc

$$\frac{E_{\text{dip}}}{E_{\text{exact}}}={\left(1-\frac{d^2}{4r^2}\right)}^2.$$

L'approximation sous-estime le champ de $12\%$ à $r=2d$, $2,0\%$ à $5d$, $0,5\%$ à $10d$ : l'écart décroît comme $d^2/2r^2$.