Équipotentielles d'un dipôle

$V=V_0$ donne $r^2=K\cos \theta$ avec $K=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{V}_0}$ : des surfaces fermées qui passent par le dipôle, dans le demi-espace $\theta <\pi /2$ pour $V_0>0$, dans l'autre pour $V_0<0$ ; le plan équatorial est l'équipotentielle $V=0$. Orthogonalité : en coordonnées polaires, la pente d'une courbe se lit sur $\frac{\mathrm{d}r}{r\mathrm{d}\theta }$. Sur une équipotentielle, $2r\mathrm{d}r=-K\sin \theta \mathrm{d}\theta$, soit $\frac{\mathrm{d}r}{r\mathrm{d}\theta }=-\frac{K\sin \theta }{2r^2}=-\frac{\tan \theta }{2}$ ; sur une ligne de champ, $\mathrm{d}r=2s\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta$, soit $\frac{\mathrm{d}r}{r\mathrm{d}\theta }=\frac{2}{\tan \theta }$. Le produit vaut $-1$ : les deux familles se coupent à angle droit.