Bobines de Helmholtz

Parité. Le plan $z=0$ échange les deux spires, et leurs courants orthoradiaux, parallèles à ce plan, sont conservés par la symétrie : c'est un plan de symétrie des courants. Sur l'axe, le champ est normal à ce plan, et sa composante normale se conserve : $B(-z)=B(z)$. Toutes les dérivées impaires sont nulles au centre, et

$$B(z)=B(0)+\frac{1}{2}{B}^{\prime \prime }(0)z^2+\frac{1}{24}{B}^{(4)}(0)z^4+\cdots$$

Dérivée seconde. Posons $f(u)=(R^2+u^2{)}^{-3/2}$ ; alors $f^{\prime \prime }(u)=\frac{3(4u^2-R^2)}{(R^2+u^2{)}^{7/2}}$. Comme $B(z)\propto f(z-D/2)+f(z+D/2)$, $B^{\prime \prime }(0)\propto 2f^{\prime \prime }(D/2)$, nul si et seulement si $4(D/2{)}^2=R^2$, c'est-à-dire $D=R$ : c'est le montage de Helmholtz.
Premier écart. Les termes en $z$, $z^2$ et $z^3$ étant nuls, le premier écart est en $z^4$ ; le développement donne

$$\frac{B(z)}{B(0)}=1-\frac{144}{125}(\frac{z}{R}{)}^4+\cdots =1-1,152(\frac{z}{R}{)}^4+\cdots$$

Le champ reste uniforme à $1\%$ près tant que $|z|<0,30R$. C'est le sens précis de « champ très homogène » : l'écart est du quatrième ordre en $z/R$.
Valeur. Au centre, chaque spire est à la distance $R/2$ : $B(0)=2\times \frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{R^2}{(5R^2/4{)}^{3/2}}=(\frac{4}{5}{)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}I}{R}$, soit $8.99\mu \mathrm{T}$ par ampère-tour pour $R=10cm$ : deux bobines de $100$ spires parcourues par $1A$ donnent $0.90mT$.