Champ sur l'axe d'une spire, résultat admis

Magnétostatique · niveau 1 (application)

Énoncé

On admet que le champ sur l'axe d'une spire circulaire de rayon $R$ parcourue par $I$ , à la distance $z$ de son centre, vaut

$B (z) = \frac{μ _{0} I}{2} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .$

Justifier par les symétries que le champ est axial sur l'axe et que $B (z)$ est pair. Calculer le champ au centre d'une spire de rayon $5 c m$ parcourue par $1 A$ , et la distance à laquelle il est divisé par deux.

Corrigé

Direction. Tout plan contenant l'axe $O z$ est perpendiculaire au courant orthoradial de la spire, que la symétrie renverse : c'est un plan d'antisymétrie, et $B$ y est contenu. L'axe étant l'intersection de tous ces plans, le champ y est axial : $B = B (z) u_{z}$ .
Parité. Le plan de la spire contient le courant : c'est un plan de symétrie. En deux points de l'axe symétriques par rapport à lui, la composante normale au plan d'un pseudo-vecteur se conserve : $B (- z) = B (z)$ , $B$ est pair et sa dérivée est nulle au centre. Que le centre soit un maximum ne découle pas de la symétrie : c'est la formule qui le dit ( $B$ décroît avec $∣ z ∣$ ).
Valeurs. Au centre, $B (0) = \frac{μ _{0} I}{2 R} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 1}{0 , 10} = 12.6 μ T$ , le quart du champ terrestre. Le champ est divisé par deux quand $(1 + z^{2} / R^{2})^{3/2} = 2$ , soit $z = R 2^{2/3} - 1 = 0, 766 R = 3.8 c m$ : le champ d'une spire est concentré à moins d'un rayon de son plan.