Dipôle dans un gradient : l'expérience de Stern et Gerlach

Magnétostatique · niveau 2

Énoncé

Un dipôle rigide $m = m_{z} u_{z}$ est placé sur l'axe d'un champ non uniforme $B_{0} = B_{0} (z) u_{z}$ . Exprimer la force $F_{z}$ et discuter le sens du déplacement selon l'orientation de $m$ . Application : un atome d'argent (masse $1.79 \times 1 0^{- 25} k g$ , moment de l'ordre de $μ_{B} = 9.27 \times 1 0^{- 24} A . m^{2}$ ) traverse sur $ℓ = 5 c m$ une région de gradient $\frac{d B _{0}}{d z} = 1 0^{3} T / m$ à la vitesse $v = 500 m / s$ . Estimer la déviation transversale à la sortie de l'aimant ; commenter l'observation de deux taches.

Corrigé

La force. $F = grad (m \cdot B_{0}) = grad (m_{z} B_{0} (z))$ , et, $m_{z}$ étant constant, $F_{z} = m_{z} \frac{d B _{0}}{d z}$ . Si $m$ est dans le sens du champ ( $m_{z} B_{0} > 0$ ), le dipôle est attiré vers les régions de champ intense : c'est le cas d'une boussole, ou d'un morceau de fer aimanté par le champ, attiré par un aimant. S'il est opposé au champ, il est repoussé vers les régions de champ faible. En champ uniforme, la force est nulle : seul subsiste le couple.
Stern et Gerlach. Pour $m_{z} = μ_{B}$ : $F = 9, 27 \times 1 0^{- 24} \times 1 0^{3} = 9.3 \times 1 0^{- 21} N$ , d'où une accélération $a = F / M = 5.2 \times 1 0^{4} m / s^{2}$ , plus de cinq mille fois celle de la pesanteur. La traversée dure $t = ℓ / v = 1 \times 1 0^{- 4} s$ , et la déviation vaut $\frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times 5, 2 \times 1 0^{4} \times 1 0^{- 8} = 0.26 mm$ , mesurable. Classiquement, les moments des atomes du jet sont orientés au hasard, $m_{z}$ prend toutes les valeurs entre $- μ_{B}$ et $+ μ_{B}$ , et l'on attend une tache étalée entre $- 0, 26$ et $+ 0, 26 mm$ . Stern et Gerlach (1922) observent deux taches, aux deux extrémités : la projection du moment magnétique ne prend que deux valeurs. C'est une quantification qu'aucun modèle classique n'explique.