Le champ terrestre est dipolaire — exercice corrigé d'électromagnétisme (MP) (chapitre 3)

Le champ terrestre est dipolaire

Magnétostatique · niveau 2

Énoncé

On modélise le champ magnétique terrestre par celui d'un dipôle $m$ placé au centre de la Terre (rayon $R_{T} = 6371 k m$ ), d'axe confondu avec l'axe des pôles. À l'équateur, le champ est horizontal et vaut $B_{e ˊ q} = 30 μ T$ . Calculer $m$ , puis le champ aux pôles. Montrer que l'inclinaison $I$ du champ (angle avec l'horizontale) à la latitude $λ$ vérifie $tan I = 2 tan λ$ ; la calculer à Paris ( $λ = 48, 8 5^{\circ}$ ), ainsi que la norme du champ, et comparer aux valeurs mesurées ( $6 4^{\circ}$ et $47 μ T$ environ). Dans quel sens pointe $m$ ?

Corrigé

Moment. À l'équateur, $θ = π /2$ et $B_{e ˊ q} = \frac{μ _{0} m}{4 π R _{T}^{3}}$ , d'où

$m = \frac{4 π R _{T}^{3} B _{e ˊ q}}{μ _{0}} = \frac{( 6 , 371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3} \times 3 \times 1 0 ^{- 5}}{1 0 ^{- 7}} = 7.8 \times 1 0^{22} A . m^{2} .$

Aux pôles, $θ = 0$ ou $π$ : $B = \frac{2 μ _{0} m}{4 π R _{T}^{3}} = 2 B_{e ˊ q} = 60 μ T$ , valeur observée près des pôles magnétiques.
Inclinaison. La latitude $λ$ et l'angle $θ$ mesuré depuis l'axe du dipôle sont liés par $λ = ∣ π /2 - θ ∣$ ; $B_{r} = \frac{μ _{0} m}{4 π r ^{3}} 2 cos θ$ est la composante verticale et $B_{θ} = \frac{μ _{0} m}{4 π r ^{3}} sin θ$ la composante horizontale : $tan I = \frac{∣ B _{r} ∣}{∣ B _{θ} ∣} = 2 cot θ = 2 tan λ$ . À Paris, $tan I = 2 tan 48, 8 5^{\circ} = 2, 29$ , $I = 6 6^{\circ}$ , et $B = B_{e ˊ q} 4 cos^{2} θ + sin^{2} θ = B_{e ˊ q} 1 + 3 sin^{2} λ = 49 μ T$ . Les valeurs mesurées sont voisines : le champ terrestre est dipolaire à $10 %$ près ; les écarts viennent de l'inclinaison de l'axe du dipôle sur l'axe des pôles (une dizaine de degrés) et de la part non dipolaire du champ.
Sens. Le pôle nord d'une boussole s'aligne sur le champ et pointe vers le nord géographique : le champ horizontal est dirigé vers le nord, il sort de la Terre dans l'hémisphère sud et y rentre dans l'hémisphère nord. Le moment $m$ pointe donc vers le sud géographique : près du pôle Nord géographique se trouve un pôle « sud » magnétique.