Lire les équations de Maxwell : quels champs sont possibles, avec quelles sources ?

La stratégie. On passe chaque champ au crible, en commençant par les équations de structure, qui ne contiennent aucune source : un champ qui les viole est impossible, quoi qu'on fasse. Les équations aux sources disent ensuite ce qu'il faut (charges, courants, ou variation de l'autre champ) pour qu'il existe.

1) Deux familles, et les calculs. Maxwell-flux et Maxwell-Faraday ne contiennent ni $\rho$ ni $\overrightarrow{j}$ : ce sont les équations de structure ; Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère sont les équations aux sources. En statique, les dérivées temporelles s'annulent et les équations se découplent : $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\rho /{\epsilon }_0$ et $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ (d'où $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V$) ; $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}$. Pour (a), $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_a=\frac{\partial (\alpha x)}{\partial x}+\frac{\partial (\alpha y)}{\partial y}=2\alpha$, et $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_a=\left(\frac{\partial (\alpha y)}{\partial x}-\frac{\partial (\alpha x)}{\partial y}\right){\overrightarrow{u}}_z=\overrightarrow{0}$. Pour (b), $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_b=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_b=(\alpha +\alpha ){\overrightarrow{u}}_z=2\alpha {\overrightarrow{u}}_z$. De même $\mathrm{div}{\overrightarrow{B}}_c=2\beta$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{B}}_c=\overrightarrow{0}$, $\mathrm{div}{\overrightarrow{B}}_d=0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{B}}_d=2\beta {\overrightarrow{u}}_z$. En cylindriques, $x{\overrightarrow{u}}_x+y{\overrightarrow{u}}_y=r{\overrightarrow{u}}_r$ et $-y{\overrightarrow{u}}_x+x{\overrightarrow{u}}_y=r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ : un champ radial « diverge », un champ orthoradial « tourne ».

2) Le régime statique. (a) passe et exige $\rho =2{\epsilon }_0\alpha$, uniforme : c'est l'intérieur d'un cylindre uniformément chargé (électrostatique), $\overrightarrow{E}=\frac{\rho r}{2{\epsilon }_0}{\overrightarrow{u}}_r$. (b) échoue : sa circulation sur un cercle, $2\pi r\times \alpha r$, n'est pas nulle, il ne dérive d'aucun potentiel. (c) échoue dans tous les régimes (question 4). (d) passe et exige $\overrightarrow{j}=\frac{2\beta }{{\mu }_0}{\overrightarrow{u}}_z$, uniforme : c'est l'intérieur d'un fil épais parcouru par un courant uniforme (magnétostatique), $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}jr}{2}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$.

3) Le champ (b) exige un champ magnétique variable. Maxwell-Faraday impose $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=-2\alpha {\overrightarrow{u}}_z$ : $\overrightarrow{B}=(B_0-2\alpha t){\overrightarrow{u}}_z$ convient. Vérification : $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ ($\overrightarrow{B}$ uniforme) ; $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_b=0$, donc $\rho =0$ ; $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ et $\frac{\partial {\overrightarrow{E}}_b}{\partial t}=\overrightarrow{0}$, donc $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$. Les quatre équations sont satisfaites exactement, sans source dans la région : les sources sont les spires d'un long solénoïde dont le courant décroît linéairement. Par la forme intégrale, $2\pi r{E}_{\theta }=-\pi r^2\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$ redonne $E_{\theta }=\alpha r$. Ici $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}=-10\mathrm{T}{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $\alpha =5,0\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-2}$ et, à $2\mathrm{cm}$, $E=0,10\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$. Ce champ ne dépend pas du temps et n'est pourtant pas électrostatique : ses lignes sont des cercles fermés, c'est le champ électromoteur de l'induction.

4) Le champ (c) est impossible dans tout régime. $\mathrm{div}{\overrightarrow{B}}_c\ne 0$ viole Maxwell-flux, qui ne contient ni source ni dérivée temporelle : rien ne peut la satisfaire. Le flux de ${\overrightarrow{B}}_c$ sortant d'un cylindre fermé d'axe $Oz$ (rayon $r$, hauteur $h$) vaut $2\pi rh\times \beta r\ne 0$, alors que le flux de $\overrightarrow{B}$ sortant de toute surface fermée est nul. Il faudrait des monopôles magnétiques, jamais observés.

5) Le champ (d) dans le vide : le courant de déplacement. Sans courant, Maxwell-Ampère exige $\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=2\beta c^2{\overrightarrow{u}}_z$ : un champ axial uniforme $\overrightarrow{E}=(E_0+2\beta c^{2}t){\overrightarrow{u}}_z$, qui vérifie $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}=-\frac{\partial {\overrightarrow{B}}_d}{\partial t}$ et $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$. C'est l'intérieur d'un condensateur à armatures circulaires chargé à courant constant. Valeurs : $\beta =\frac{1}{2c^2}\frac{\partial E}{\partial t}\approx 5,6\times 10^{-6}\mathrm{T}{\mathrm{m}}^{-1}$, et $B_d=\beta r\approx 0,56\mu \mathrm{T}$ à $10\mathrm{cm}$. La densité de courant de déplacement, ${\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}\approx 8,9\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$, « débite » $0,28\mathrm{A}$ à travers ce disque de $10\mathrm{cm}$. Le même champ magnétique a deux sources possibles : pour Maxwell-Ampère, $\overrightarrow{j}$ et ${\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ jouent le même rôle.

6) Un champ électrique uniforme et variable ne vient jamais seul. Si $\overrightarrow{E}=E(t){\overrightarrow{u}}_z$ est uniforme dans le vide avec $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\ne 0$, Maxwell-Ampère donne $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{u}}_z\ne \overrightarrow{0}$ : un champ magnétique est obligatoire. Comme $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$, Maxwell-Faraday rend $\overrightarrow{B}$ statique, donc $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}$ aussi, donc $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$ est constant : un champ uniforme ne peut varier que linéairement. S'il oscille, il ne peut rester uniforme : le champ magnétique qu'il induit varie et induit à son tour une correction (l'exercice 2 la chiffre). C'est le couplage qui conduira à la propagation (exercice 6).

Ce que l'exercice installe. Chaque équation de Maxwell est un test : les équations de structure filtrent les champs impossibles, les équations aux sources disent ce qu'il faut pour qu'un champ existe. Un $\overrightarrow{E}$ à rotationnel non nul exige un $\overrightarrow{B}$ variable ; un $\overrightarrow{B}$ à rotationnel non nul exige un courant ou un $\overrightarrow{E}$ variable. Les lois de la statique sont le cas $\frac{\partial }{\partial t}=0$.