Maxwell en ARQS et extension des champs statiques

Équations de Maxwell · niveau 2

Énoncé

Un long solénoïde de rayon $a = 2.0 cm$ , à $n$ spires par mètre, est parcouru par $i (t) = I_{0} cos (ω t)$ .

Écrire les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS magnétique. En déduire le champ magnétique à l'intérieur.
En déduire le champ électrique induit, puis le courant de déplacement qu'il entraîne. Le courant de déplacement crée un champ magnétique correctif $δ B$ ; montrer que l'écart relatif entre le champ au centre et le champ au bord est $\frac{1}{4} (\frac{ω a}{c})^{2}$ . Valeur à $50 Hz$ , puis à $100 M Hz$ . Conclure.

En ARQS : $div E = ρ / ε_{0}$ , $div B = 0$ , $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ , $rot B = μ_{0} j$ . La dernière est celle de la magnétostatique : le théorème d'Ampère s'applique à chaque instant, et le champ du solénoïde infini garde son expression statique avec la valeur instantanée du courant, $B = μ_{0} ni (t) u_{z}$ à l'intérieur.
Maxwell--Faraday intégrale sur un cercle de rayon $r$ : $E_{θ} = - \frac{μ _{0} n r}{2} \frac{d i}{d t}$ . Le courant de déplacement $ε_{0} \frac{\partial E _{θ}}{\partial t} u_{θ} = - \frac{n r}{2 c ^{2}} \frac{d ^{2} i}{d t ^{2}} u_{θ}$ est orthoradial, comme les courants d'un solénoïde : il crée un champ axial correctif tel que $- \frac{\partial δ B}{\partial r} = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E _{θ}}{\partial t}$ (Maxwell--Ampère, composante sur $u_{θ}$ ). Avec $\frac{d ^{2} i}{d t ^{2}} = - ω^{2} i$ , on intègre de $0$ à $a$ : $\frac{δ B ( 0 ) - δ B ( a )}{μ _{0} ni} = \frac{ω ^{2} a ^{2}}{4 c ^{2}}$ . À $50 Hz$ , $\frac{ω a}{c} \approx 2.1 \times 1 0^{- 8}$ et l'écart vaut $1.1 \times 1 0^{- 16}$ : l'ARQS est parfaite. À $100 M Hz$ , il vaut $4.4 \times 1 0^{- 4}$ : encore petit, mais il croît comme $f^{2}$ , et l'ARQS cesse quand $a$ approche $λ /2 π$ .