Densité de courant non uniforme

On intègre le flux sur la section, en la découpant en couronnes de rayon $r$ et d'épaisseur $\mathrm{d}r$, sur lesquelles $j$ est uniforme : $\mathrm{d}S=2\pi r\mathrm{d}r$.

$$I={\iint }_S\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\int }_0^a{j}_0\frac{r}{a}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{2\pi j_0}{a}{\int }_0^a{r}^2\mathrm{d}r=\frac{2\pi j_0}{a}\cdot \frac{a^3}{3}=\frac{2\pi j_0{a}^2}{3}.$$

La densité moyenne est $⟨j⟩=I/(\pi a^2)=\frac{2}{3}{j}_0$, inférieure au maximum $j_0$ atteint au bord, mais supérieure à $j_0/2$ : les couronnes extérieures, où $j$ est grand, ont aussi la plus grande aire.